2.1.2求曲线的方程[A基础达标]1．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条直线的交点在方程x2＋y2＝9表示的曲线上，则k等于()A．±3B．0C．±2D．一切实数解析：选A．由得，代入x2＋y2＝9得k＝±3．2．方程x2＋2y2＋2x－2y＋＝0表示的曲线是()A．一个点B．一条直线C．一个圆D．两条线段解析：选A．方程可化为(x＋1)2＋2(y－)2＝0，所以即，它表示点(－1，)．故选A．3．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是()A．(x－1)2＋y2＝2B．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝2xD．y2＝－2x解析：选A．设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，半径为r，依题意得|PC|2＝r2＋|PA|2，即|PC|2＝2，因此点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2．4．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是()解析：选B．方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，则x≤0，因此选B．5．已知点A，B的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM与BM的斜率之差是2，则点M的轨迹方程是()A．x2＝－(y－1)B．x2＝－(y－1)(x≠±1)C．xy＝x2－1D．xy＝x2－1(x≠±1)解析：选B．设M(x，y)，由题意得－＝2(x≠±1)，整理得x2＝1－y(x≠±1)，即x2＝－(y－1)(x≠±1)．6．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(－1，2)与动点P(x，y)满足OP·OA＝3，则点P的轨迹方程为________________．解析：由题意OP＝(x，y)，OA＝(－1，2)，则OP·OA＝－x＋2y．由OP·OA＝3，得－x＋2y＝3，即x－2y＋3＝0．1答案：x－2y＋3＝07．若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，则k的取值范围为________．解析：因为曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，所以a2＋a2＋2a＋k＝0．所以k＝－2a2－2a＝－2＋．所以k≤，所以k的取值范围是．答案：8．若等腰三角形底边的两个顶点是B(2，1)，C(0，－3)，则另一顶点A的轨迹方程是________．解析：由题意，知另一顶点A在边BC的垂直平分线上．又BC的中点为(1，－1)，边BC所在直线的斜率kBC＝＝2，所以边BC的垂直平分线的斜率为－，垂直平分线的方程为y＋1＝－(x－1)，即x＋2y＋1＝0．又顶点A不在边BC上，所以x≠1．故另一顶点A的轨迹方程是x＋2y＋1＝0(x≠1)．答案：x＋2y＋1＝0(x≠1)9．已知Rt△ABC中，∠C为直角，且A(－1，0)，B(1，0)，求满足条件的C的轨迹方程．解：因为在Rt△ABC中，∠C为直角，设线段AB的中点为O，所以点C到AB的中点的距离为|AB|的一半，即|OC|＝1．所以点C的轨迹是以O(0，0)为圆心，r＝1为半径的圆，故圆的方程为x2＋y2＝1．又A，B，C三点所连线段构成三角形，可知x≠±1，所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝1(x≠±1)．10．已知两点M(－2，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN||MP|＋MN·NP＝0，求动点P(x，y)的轨迹方程．解：由题意得MN＝(4，0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y)．所以|MN|＝4，|MP|＝，MN·NP＝4(x－2)．代入|MN||MP|＋MN·NP＝0，得4＋4(x－2)＝0，即＝2－x，化简整理，得y2＝－8x，故动点P(x，y)的轨迹方程为y2＝－8x．[B能力提升]11．a、b为任意实数，若点(a，b)在曲线f(x，y)＝0上，则点(b，a)也在曲线f(x，y)＝0上，那么曲线f(x，y)＝0的几何特征是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称解析：选D．由于点(a，b)和(b，a)关于直线y＝x对称，所以f(x，y)＝0表示的曲线关于直线y＝x对称，故选D．12．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(1，0)，B(2，2)．若点C满足OC＝OA＋t(OB－OA)，其中t∈R，则点C的轨迹方程为________．解析：设点C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＋t(OB－OA)＝(1＋t，2t)，所以消去参数t，得点C2的轨迹方程为y＝2x－2．答案：y＝2x－213．已知三角形ABC中，AB＝2，AC＝BC．(1)求点C的轨迹方程；(2)求三角形ABC的面积的最大值．解：(1)以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设C(x，y)，由AC＝BC，得(x－3)2＋y2＝8，即为点C的轨迹方程，所以点C的轨迹是以(3，0)为圆心，半径为2的圆．(2)由于AB＝2，所以S△ABC＝×2×|y|＝|y|，因为(x－3)2＋y2＝8，所以|y|≤2，所以S△ABC≤2，即三角形ABC的面积的最大值为2．14．(选做题)如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2...
