初中数学证明（三）定理解读课本中的定理是相关知识性质的直接体现，只有学好这些定理，才能灵活准确地运用定理解题。课本习题是学习这些定理最好的试金石，下面以北师大版教材《数学》九年级上册第三章第一节“平行四边形”中的随堂练习或习题为例解读该节中的定理。定理1：平行四边形的对边相等。例1.（习题3.1第1题）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F。求证：OE=OF。分析：证明线段或角相等，一个重要的方法是证包含对应线段或角的两个三角形全等。该题要证OE=OF，可证ΔBOF≌ΔDOE，由定理1容易证得。证明：在平行四边形ABCD中，∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，由定理1知AB=CD，故ΔABO≌ΔCDO。所以BO=DO，易知∠OBF=∠ODE，∠BOF=∠DOE，可知ΔBOF≌ΔDOE。故OE=OF。评注：除了上面的方法，灵活运用定理1还可证得ΔAOD≌ΔCOB，依然能得到BO=DO这一关键条件。只要牢固掌握平行四边形的性质，在平行四边形中就很容易找到全等三角形。定理2：平行四边形的对角相等。例2.（随堂练习第2题）证明：夹在两条平行线间的平行线段相等。分析：要证明这个命题可用定理1证明，也可用定理2证明，先将已知条件转化到平行四边形中，再利用三角形全等即可证得。证明：如上图，直线AD∥BC，AB∥DC，可知四边形ABCD是平行四边形。连接BD，则∠ADB=∠CBD，由定理2知∠BAD=∠DCB，BD=BD，故ΔBAD≌ΔDCB，所以AB=CD。命题得证。评注：证明这个命题要注意平行线间所夹的是“平行线段”这一条件。解答问题一定要抓住关键条件来拓展思路。定理3：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。例3.（习题3.1第2题）证明：等腰梯形的两条对角线相等。分析：由定理3可知等腰梯形的两个底角相等，再利用三角形全等即可证得。证明：如上图，AC，BD是等腰梯形ABCD的对角线，由定理3可知∠ABC=∠DCB，因AB=DC，BC=BC，故ΔABC≌ΔDCB。所以AC=BD。即等腰梯形的两条对角线相等。评注：利用平行四边形的性质，可在平行四边形中找到多组全等三角形，等腰梯形也是一种重要的特殊图形，在等腰梯形中证明线段相等也可通过证三角形全等这一方法，同学们应牢固掌握。上图中还有哪些三角形全等？是否还有别的方法证明这个命题？请同学们进一步探索。定理4：两组对边分别相等的四边形是平行四边形例4.（随堂练习第2题）已知：如下图，在平行四边形ABCD中，BF=DE。求证：四边形AFCE是平行四边形。分析：可先证四边形AFCE的对边相等，由定理4即可证得四边形AFCE是平行四边形。证明：因ABCD是平行四边形，所以AD=BC，∠ADE=∠CBF，CD=AB。由BF=DE，知CE=AF。易知ΔADE≌ΔCBF。故CF=AE。由定理4可知四边形AFCE是平行四边形。评注：平行四边形的判定定理不只一条，证明四边形是平行四边形要仔细琢磨题中所给条件，运用适当的定理来解题，选定定理后即可形成相应的解题思路。定理5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。例5.（随堂练习第1题）证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。分析：该命题可用定理5证明，前提是要找到其中一组平行且相等的对边。由对角线互相平分可想到通过证明三角形全等，从而得到满足定理5的条件。证明：如下图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC，BD相互平分，则AO=CO，BO=DO，∠AOB=∠COD，故ΔAOB≌ΔCOD。易知∠ADO=∠CBO，因内错角相等两直线平行，所以AD∥BC。又因AD=BC，由定理5可知四边形ABCD是平行四边形。评注：该题所证命题和例2、例3、例4所证命题一样，都是解题过程中可供利用的依据，同学们要熟记课本上并没有标注是定理的“定理”。定理6：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。例6.（习题3.3第1题）已知：如下图，在ΔABC中，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点。求证：四边形AFDE的周长等于AB＋AC。分析：因点D，E，F分别是三角形三边的中点，故可用定理6证明四边形AFDE是平行四边形。证明：由定理6可知，DF∥AC，DE∥AB，故四边形AFDE是平行四边形，则AF=DE，AE=DF。又因为AF=BF，AE=CE，所以AF＋DF＋DE＋EA=AF＋BF＋CE＋AE=AB＋AC。即四边形AFDE的周长等于AB＋AC。评注：定理6是一条应用广泛的定理，解题时若遇到有线段中点的条件可考虑构造三角形中位线来辅助解题。
