四、柱坐标系与球坐标系简介A级基础巩固一、选择题1．空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面Oyz内的是()A.B.C.D.解析：由P(ρ，θ，z)，当θ＝时，点P在平面Oyz内．答案：A2．若点M的球坐标为，则它的直角坐标为()A．(－6，2，4)B．(6，2，4)C．(－6，－2，4)D．(－6，2，－4)解析：由x＝8sincos＝－6，y＝8sinsin＝2，z＝8cos＝4，得点M的直角坐标为(－6，2，4)．答案：A3．设点M的直角坐标为(2，0，2)，则点M的柱坐标为()A．(2，0，2)B．(2，π，2)C．(，0，2)D．(，π，2)解析：设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，所以ρ＝＝2，tanθ＝＝0，所以θ＝0，z＝2，所以点M的柱坐标为(2，0，2)．答案：A4．在空间直角坐标系中的点M(x，y，z)，若它的柱坐标为，则它的球坐标为()A.B.C.D.解析：因为M点的柱坐标为M，设点M的直角坐标为(x，y，z)．所以x＝3cos＝，y＝3sin＝，z＝3，所以M点的直角坐标为.设点M的球坐标为(γ，φ，θ)．γ是球面的半径，φ为向量OM在xOy面上投影到x正方向夹角，θ为向量OM与z轴正方向夹角．所以r＝＝3，容易知道φ＝，同时结合点M的直角坐标为，可知cosθ＝＝＝，所以θ＝，所以M点的球坐标为.答案：B二、填空题5．空间点P的柱坐标为，则点P关于z轴的对称点为________．答案：6．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为_______，它的柱坐标是________．答案：(－2，2，2)17．已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________．解析：设点M在平面Oxy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面Oxy上的射影．因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面Oxy，所以PN⊥直线Oy.所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1，所以|OM|＝＝＝3.在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，所以|MN|＝＝＝.答案：38．已知点M的球坐标为，则点M到Oz轴的距离为________．解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，则由(r，φ，θ)＝，知x＝4sincos＝－2，y＝4sinsin＝2，z＝4cos＝2，所以点M的直角坐标为(－2，2，2)．故点M到Oz轴的距离为＝2.答案：2三、解答题9.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A、B，求出这两个截面间的距离．解：在△OO1A中，由球坐标知∠AOO1＝，|OA|＝8，所以|OO1|＝8cos∠AOO1＝8×＝4，同理在△OO2B中，|OB|＝8，∠O2OB＝，所以|OO2|＝4，所以|O1O2|＝8，所以两个截面间的距离为8.10．设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球面距离．解：设纬度圈的圆心为O′，地球球心为O，如图，OA＝OB＝R，由点A，B的球坐标可知，∠BOO′＝45°，∠AOO′＝45°，这两个点都在北纬90°－45°＝45°圈上．则∠xOQ＝70°，∠xOH＝160°，所以∠AO′B＝160°－70°＝90°.2因为OB＝R，O′B＝O′A＝R，所以AB＝R.则AO＝BO＝AB＝R.所以∠AOB＝60°，AB＝·2πR＝πR.即A，B两点间的球面距离为πR.[B级能力提升]1．点M的球坐标为(r，φ，θ)，φ，θ∈(0，π)，则其关于点(0，0，0)的对称点的球坐标为________．答案：(r，π－φ，π＋θ)2．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为Oxy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为Ozx坐标面，如图所示，若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为________．解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为.答案：3．在柱坐标系中，求满足围成的几何体的体积．解：根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线Oz为轴、轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，所以V＝Sh＝πr2h＝2π.3
