第三节导数与函数的极值、最值课时作业练1.函数y=2x-1x2的极大值是.答案-3解析因为y=2x-1x2,所以y'=2+2x3.令y'=0,得x=-1,且x<-1时,y'>0,函数递增,-1
0时,y'>0,函数递增,所以当x=-1时,y取得极大值-3.2.已知函数f(x)=ex-elnx,则f(x)的最小值为.答案e解析易知f'(x)=ex-ex=xex-ex(x>0).令f'(x)=0,解得x=1.当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)min=f(1)=e.3.(2018江苏泰兴中学期中)已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,则此函数在[-2,2]上的最小值是.答案-37解析由题意得f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),则f(x)在[-2,0]上单调递增,在(0,2]上单调递减,所以x=0为f(x)的极大值点,也为最大值点,则f(0)=m=3,所以f(-2)=-37,f(2)=-5,故最小值是-37.4.(2018江苏苏州调研测试)已知x=0是函数f(x)=(x-2a)(x2+a2x+2a3)的极小值点,则实数a的取值范围是.答案(-∞,0)∪(2,+∞)解析易知f'(x)=3x2+(2a2-4a)x=3x(x-4a-2a23).由x=0是函数f(x)的极小值点得4a-2a23<0,解得a>2或a<0.5.(2018江苏扬州中学高三开学考)已知函数f(x)=(x+m)lnx,m∈R,当x≠1时,恒有(x-1)f'(x)>0,则关于x的不等式f(x)<2x-2的解集为.答案(1,e2)解析由(x-1)f'(x)>0可得f(x)在x=1处取得极小值,f'(x)=lnx+x+mx,则f'(1)=1+m=0,m=1-1,f(x)<2x-2(x-1)·lnx<2(x-1)⇔⇔{02或{x>1,lnx<2,则10,函数f(x)递增,x∈(0,π4)时,f(x)'<0,函数f(x)递减,所以当x=0时,f(x)取得最大值1,当x=-π4或π4时,f(x)=√22-π4,故函数f(x)的值域为[√22-π4,1].7.(2018江苏淮阴中学第一学期阶段检测)函数f(x)=ex+m,g(x)=1+lnx,且f(a)=g(b),若a-b的最大值为2,则实数m的值为.答案-3解析令f(a)=g(b)=k,k>0,则a=lnk-m,b=eke.令f(k)=a-b=lnk-m-eke,k>0,则f'(k)=1k-eke=e-kekek,令f'(k)=0,得k=1,且k∈(0,1)时,f'(k)>0,f(k)递增,k∈(1,+∞)时,f'(k)<0,f(k)递减,则f(k)max=f(1)=-m-1=2,m=-3.8.(2018苏州学业阳光指标调研)已知直线y=a分别与直线y=2x-2,曲线y=2ex+x交于点A,B,则线段AB长度的最小值为.答案3+ln22解析由题意可设A(x1,a),B(x2,a),则a=2x1-2,a=2ex2+x2,|AB|=|x1-x2|=|a+22-x2|=|2ex2+x2+22-x2|=|ex2-12x2+1|,令f(x)=ex-12x+1,则f'(x)=ex-12,令2f'(x)=0,得x=ln12,且xln12时,f'(x)>0,f(x)递增,则f(x)min=f(ln12)=32-12ln12=3+ln22>0,故线段AB长度的最小值为3+ln22.9.(2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为.答案-3解析 f(x)=2x3-ax2+1,∴f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).若a≤0,则x>0时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,又f(0)=1,∴f(x)在(0,+∞)上没有零点,∴a>0.当0a3时,f'(x)>0,f(x)为增函数,∴x>0时,f(x)有极小值,为f(a3)=-a327+1. f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,∴f(a3)=0,∴a=3.∴f(x)=2x3-3x2+1,则f'(x)=6x(x-1).x-1(-1,0)0(0,1)1f'(x)+-f(x)-4增1减0∴f(x)在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4.∴最大值与最小值的和为-3.10.(2019江苏五校高三模拟)已知函数f(x)=lnx,g(x)=x-1.(1)求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)证明:f(x)≤g(x);(3)若不等式f(x)≤ag(x)对任意的x∈(1,+∞)均成立,求实数a的取值范围.解析(1) f'(x)=1x,∴f'(1)=1.又f(1)=0,∴切线的方程为y-f(1)=f'(1)(x-1),即所求切线的方程为y=x-1.3(2)证明:设h(x)=f(x)-g(x)=lnx-x+1,则h'(x)=1x-1,令h'(x)=0,得x=1,当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,+∞)h'(x)+0-h(x)单调递增极大值单调递减∴h(x)≤h(x)max=h(1)=0,即f(x)≤g(x).(3)易知对任意的x∈(1,+∞),f(x)>0,g(x)>0.(i)当a≥1时,f(x)≤g(x)≤ag(x);(ii)当a≤0时,f(x)>0,ag(x)≤0,∴不满足不等式f(x)≤ag(x);(iii)当0
