第二章2.32.3.2作业1A级基础巩固一、选择题1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则∠AOB的大小(C)A．小于90°B．等于90°C．大于90°D．不能确定[解析]过抛物线焦点且垂直于x轴的弦AB为通径，其长度为2p，又顶点到通径的距离为，由三角函数知识可知，∠AOB大于90°.2．若AB为抛物线y2＝4x的弦，且A(x1,4)、B(x2,2)，则|AB|＝(B)A．13B．C．6D．4[解析]代入点A，B可得x1＝4，x2＝1，由两点间距离公式得|AB|＝.3．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(B)A．(，±)B．(，±)C．(，)D．(，)[解析]设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又F(，0)，∴x0＝，∴y＝，∴y0＝±，故选B．4．(2019·全国Ⅱ卷理，8)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(D)A．2B．3C．4D．8[解析]抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，椭圆＋＝1的焦点坐标为.由题意得＝，解得p＝0(舍去)或p＝8.故选D．5．(2020·全国卷Ⅰ理，4)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(C)A．2B．3C．6D．9[解析]因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以y＝18p.又点A到焦点的距离为12，所以＝12，所以2＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6.故选C．6．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线，交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝___(C)A．5B．6C．8D．10[解析]抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以由抛物线的定义，知|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝y1＋1＋y2＋1＝y1＋y2＋2＝8，故选C．二、填空题7．过点M(3,2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有__1__条．[解析] 点M(3,2)在抛物线内部，∴过点M平行于x轴的直线y＝2与抛物线y2＝8x只有一个交点．8．(2018·北京文，10)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为__(1,0)__.[解析]由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a＞0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．三、解答题9．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点．(1)用p表示|AB|；(2)若OA·OB＝－3，求这个抛物线的方程．[解析](1)抛物线的焦点为F(，0)，过点F且倾斜角为的直线方程是y＝x－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.(2)由(1)知x1x2＝，x1＋x2＝3p，∴y1y2＝(x1－)(x2－)＝x1x2－(x1＋x2)＋＝－＋＝－p2，∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－＝－3，解得p2＝4，∴p＝2.∴这个抛物线的方程为y2＝4x.B级素养提升一、选择题1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝(C)A．2或－2B．－1C．2D．3[解析]由，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，则＝4，即k＝2.2．已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，M、N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝6，则MN中点的横坐标为(B)A．B．2C．D．3[解析]F是抛物线y2＝4x的焦点，F(1,0)，准线方程x＝－1，设M(xM，yM)、N(xN，yN)，∴|MF|＋|NF|＝xM＋1＋xN＋1＝6，解得xM＋xN＝4，∴MN中点的横坐标为＝2.3．(多选题)已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角可以是(BD)A．B．C．D．[解析]解法一： 抛物线y2＝6x，∴2p＝6，∴＝，即焦点坐标F.当直线倾斜角为时，即直线为x＝，此时弦长为2×6×＝9≠12，故直线斜率存在．设所求直线方程为y＝k，与抛物线y2＝6x消去y，得k2x2－(3k2＋6)x＋k2＝0.设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝. 直线过抛物线y2＝6x焦点，弦长为12，∴x1＋x2＋3＝12，∴x1＋x2＝9，即＝9，解得k2＝1，k＝tanα＝±1， α∈[0，π)，∴α＝或.解法二：弦长|AB|＝(α为直线AB的倾斜角)，∴12＝，∴sin2α＝，sinα＝±， α∈[0，π)，∴α＝或α＝.4．(多选题)...
