A组专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2015·泰安模拟)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析设l与α所成角为θ， cos〈m，n〉＝－，又直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°，∴sinθ＝.∴θ＝30°.答案A2．(2015·广州模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为()A.B.C.D.解析设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，可知CM＝(2，－2，1)，D1N＝(2，2，－1)，cos〈CM，D1N〉＝－，sin〈CM，D1N〉＝.答案B3．(2014·石家庄调研)设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A.B.C.D.解析如图，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，∴D1A1＝(2，0，0)，DA1＝(2，0，2)，DB＝(2，2，0)，设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－1)．∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.答案D4．(2014·江西南昌质检)二面角αlβ等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于()A.B.C．2D.解析如图， 二面角αlβ等于120°，∴CA与BD夹角为60°.由题设知，CA⊥AB，AB⊥BD，|AB|＝|AC|＝|BD|＝1，|CD|2＝|CA＋AB＋BD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·AB＋2AB·BD＋2CA·BD＝3＋2×cos60°＝4，∴|CD|＝2.答案C二、填空题5．(2015·青岛模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．解析以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设n＝(x，y，z)为平面A1BC1的法向量，则n·A1B＝0，n·A1C1＝0，即令z＝2，则y＝1，x＝2，于是n＝(2，1，2)，D1C1＝(0，2，0)，sinα＝|cos〈n，D1C1〉|＝.答案一年创新演练6．已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为________．解析建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则CG＝(0，0，2)，由题意可求得平面GEF的一个法向量为n＝(1，1，3)，所以点C到平面GEF的距离为d＝＝.答案7．如图，三棱锥PABC中，PA＝PB＝PC＝，CA＝CB＝，AC⊥BC.(1)求点B到平面PAC的距离；(2)求二面角CPAB的余弦值．解取AB中点O，连接OP，CO， CA＝CB＝，∠ACB＝90°，∴CO⊥AB，且AB＝2，CO＝1. PA＝PB＝，∴PO⊥AB，且PO＝＝.∴PO2＋OC2＝3＝PC2，∴∠POC＝90°，即PO⊥OC.∴OA，OC，OP两两垂直．如图所示，分别以OA，OC，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A(1，0，0)，B(－1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，)．(1)设平面PAC的一个法向量为n＝(x，y，1)，则 AC＝(－1，1，0)，PA＝(1，0，－)，∴，∴x＝y＝，∴n＝(，，1)． AB＝(－2，0，0)，∴点B到平面PAC的距离为d＝＝＝.(2)OC＝(0，1，0)是平面PAB的一个法向量，cos〈n，OC〉＝＝.综合图形可见，二面角CPAB的大小为锐角，∴二面角CPAB的余弦值为.B组专项提升测试三年模拟精选一、选择题8．(2014·宁夏银川调研考试)已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.解析法一取A1C1的中点E，连接AE、B1E.由题易知B1E⊥平面ACC1A1，则∠B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角．令正三棱柱侧棱长与底面边长为1，则sin∠B1AE＝＝＝，故选A.法二如上图，以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系Exyz，设棱长为1，则A(，0，1)，B1(0，，0)，设AB1与面ACC1A1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈AB1，EB1〉|＝＝.答案A二、填空题9．(2014·江苏徐州一模)将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为________．解析设折叠后点A到达A1点的位置，取BD的中点E，连接A1E、CE.∴BD⊥CE，BD⊥A1E.∴∠A1EC为二面角A1BDC的平面角．∴∠A1EC＝60°，又A1E＝CE，∴△A1EC是等边三角形．∴A1E＝CE＝A1C＝a.即折叠后点A与C之间的距离为a.答案a三、解答题10.(2014·南京模拟)如图，△ABC是以∠ABC为直角的三角形，SA⊥平...
