高考大题规范练(一)函数与导数1．(2015·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值
(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性
解(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，因为f(x)在x＝－处取得极值，所以f′＝0，即3a·＋2·＝－＝0，解得a＝
(2)由(1)得g(x)＝ex，故g′(x)＝ex＋ex＝ex＝x(x＋1)(x＋4)ex
令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4
当x0，f()＝0，f(x)在(0,1)上是增函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，∴b≤1－－恒成立
令g(x)＝1－－，可得g′(x)＝，∴g(x)在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝0，∴实数b的取值范围是(－∞，0]
4．已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0，设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同
(1)用a表示b；(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)
解(1)设曲线y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，∵f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，∴依题意得即由x0＋2a＝，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)，则b＝a2＋2a2－3a2lna＝a2－3a2lna
(2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2ax－3a2lnx－b(x>0)，则F′(x)＝x＋2a－＝(x>0)，由F′(x)＝0得x＝a或x＝－3a(舍去)
当x变化时，F′(x)，F(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，＋∞)F′(x)－0＋F(x)极小值结合(1)可知函数F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝f(a)－g(a)＝0
故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0，即
