3.3.2函数的极值与导数基础练习1．若f(x)在x0处连续，则下列命题中正确的是()A．若f(x0)是f(x)的极值，则f(x)在x0处可导且f′(x0)＝0B．若曲线y＝f(x)在x0附近的左侧切线斜率为正，右侧切线斜率为负，则f(x0)是f(x)的极大值C．若曲线y＝f(x)在x0附近的左侧切线斜率为负，右侧切线斜率为正，则f(x0)是f(x)的极大值D．若f′(x0)＝0，则f(x0)必是f(x)的极值【答案】B2．函数y＝2x3－3x2()A．在x＝0处取得极大值0，但无极小值B．在x＝1处取得极小值－1，但无极大值C．在x＝0处取得极大值0，在x＝1处取得极小值－1D．以上都不对【答案】C3．下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.其中在x＝0处取得极小值的函数是()A．①②B．②③C．③④D．①③【答案】B4．函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，下列说法正确的是()A．函数f(x)在x＝x1处取得极小值B．函数f(x)在x＝x3处取得极大值C．函数f(x)的单调递减区间是(x2，x3)D．函数f(x)无极大值【答案】C5．设函数f(x)＝x3＋2x2＋x＋10在x1，x2处取得极值，则x＋x＝________.【答案】6．(2019年江苏扬州期末)若函数f(x)＝ex＋ax(x∈R)有大于0的极值点，则a的取值范围为________．【答案】(－∞，－1)【解析】∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，∴x＝ln(－a)．又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.7．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值，讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值．1解：f′(x)＝3ax2＋2bx－3.根据题意f′(1)＝f′(－1)＝0，即解得所以f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故函数f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(1，＋∞)上也是增函数．当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，故函数f(x)在(－1,1)上是减函数．所以f(－1)是极大值，f(1)是极小值．8．已知函数f(x)＝(x2＋ax＋b)ex在点(0，f(0))处的切线方程是y＝－2x＋1，其中e是自然对数的底数．(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．解：(1)由f(x)＝(x2＋ax＋b)ex，得f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a＋b]ex.因为函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是y＝－2x＋1，所以解得(2)由(1)知f(x)＝(x2－3x＋1)ex，f′(x)＝(x2－x－2)ex＝(x＋1)(x－2)ex.令f′(x)＝0，得x1＝－1或x2＝2.当x＜－1时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当－1＜x＜2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．故当x＝－1时，函数f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(－1)＝；当x＝2时，函数f(x)取得极小值，f(x)极小值＝f(2)＝－e2.能力提升9.(2018年四川遂宁模拟)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝2处有极值，则ab的最大值等于()A．121B．144C．72D．80【答案】C【解析】由题意，f′(x)＝12x2－2ax－2b.∵f(x)在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0，即2a＋b＝24.∵a＞0，b＞0，∴2ab≤2＝144，当且仅当2a＝b时取等号，故ab的最大值等于72.故选C．10．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则(x1－x2)2的值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】根据图形知解得∴f′(x)＝3x2－6x＋2.显然x1，x2是f′(x)＝0的两根，根据韦达定理有x1＋x2＝2，x1·x2＝，则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝.11．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a＞0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________．2【答案】(－1,1)【解析】令f′(x)＝3x2－3a＝0，解得x＝±.f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值从而解得所以f(x)的单调递减区间是(－1,1)．12．(2019年重庆模拟)已知f(x)＝2lnx－x2＋ax＋b在x＝2处取得极值．(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程f(x)＝0的区间[1,3]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．解：(1)f′(x)＝－2x＋a.当x＝2时，f(x)取得极值，所以f′(2)＝0，解得a＝3.经检验，知a＝3符合题意．(2)f(x)＝2lnx－2＋3x＋b，则f′(x)＝－2x＋3＝－(x＞0)．f(x)，f′(x)在(0，＋∞)上的变化状态如下表：x(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)2ln2＋2＋b由表可知函数在x＝2处取得极大值，极大值为2ln2＋2＋b.要使f(x)＝0在区间[1,3]上恰有两个不同的实数根，只需即所以－2－2ln2＜b≤－2ln3.故实数b的取值范围是(－2－2ln2，－2ln3]．3
