第四节抛物线课时作业练1.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值是.答案-18解析抛物线的标准方程为x2=1ay,因为准线方程为y=2,所以a<0且2=-14a,解得a=-18.2.已知斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a>0)的焦点F,且与y轴相交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为.答案y2=8x解析依题意得,|OF|=a4.由直线l的斜率为2,可知|AO|=2|OF|=a2.又△OAF的面积等于12·|AO|·|OF|=a216=4,则a2=64.又a>0,所以a=8,该抛物线的方程为y2=8x.3.(2019江苏南京高三模拟)如图,抛物线形拱桥的顶点距水面4米时,测得拱桥内水面宽为16米;当水面升高3米后,拱桥内水面的宽度为米.1答案8解析以抛物线的顶点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2=my(m<0),由题意得抛物线过点(8,-4),所以m=-16,即x2=-16y,令y=-1,得|x|=4,从而水面的宽度为8米.4.抛物线y=4x2上的一点M到焦点F的距离为1,则点M的纵坐标是.答案1516解析设M(x,y),抛物线方程可化为x2=14y,则必有|MF|=y+p2=y+116=1,所以y=1516.5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=6,|PQ|=10,则抛物线的方程为.答案y2=8x解析由于直线PQ过抛物线的焦点,因此|PQ|=x1+x2+p=6+p=10,即p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.6.动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为.答案y2=4x解析由已知得圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.7.(2018扬州高三调研)在平面直角坐标系xOy中,若抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为1的点到焦点的距离为4,则该抛物线的焦点到准线的距离为.答案6解析由题意可知1+p2=4,p=6,则该抛物线的焦点到准线的距离为6.28.(2019南京师大附中高三模拟)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=2x,且它的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点相同,则双曲线的方程是.答案x25-y220=1解析由双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=2x,得ba=2,由它的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点(5,0)相同,得c=5,则b2=c2-a2=4a2,则a2=5,b2=20,双曲线的方程是x25-y220=1.9.(2019南京模拟)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则ba=.答案√2+1解析因为正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b,O为AD的中点,所以C(a2,-a),F(a2+b,b).又因为点C,F在抛物线y2=2px(p>0)上,所以{a2=pa,b2=2p(a2+b),根据a0),则-p2=-3,即p=6,故抛物线的标准方程为y2=-12x.(2)设抛物线的方程为y2=mx(m>0)或x2=ny(n<0),分别代入P点坐标求得m=8,n=-1,故所求抛物线的标准方程为y2=8x或x2=-y.12.设P是抛物线y2=4x上的一个动点.(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.解析(1)易知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程是x=-1,由抛物线的定义知点P到直线x=-1的距离等于点P到点F的距离.于是,问题转化为求点P到点A(-1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和的最小值.易知A、P、F三点共线时所求的距离之和取得最小值,故最小值为|AF|=√(-1-1)2+(1-0)2=√5.4(2)易知B在抛物线内,设点P到准线的距离为d1,点B到准线的距离为d2,易知d1=|PF|,d2=4.|PF|+|PB|=d1+|PB|≥d2=4,当且仅当直线PB垂直于准线x=-1时取等号,故|PB|+|PF|的最小值为4.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.设全集U=N*,集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},则图中的阴影部分表示的集合为.答案{4,6}2.向量a=(3,m)与b=(m,3)的方向相反,则m=.答案...
