2016-2017学年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理高效测评新人教A版选修1-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．立体几何中与平面几何中的三角形做类比对象的是()A．正方体B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台解析：由平面几何与立体几何的类比可知，立体几何中的三棱锥是三角形的类比对象．故选B.答案：B2．右图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是()A．2B．4C．6D．8解析：由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.答案：C3．根据给出的数塔猜测1234567×9＋8＝()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111A．11111110B．11111111C．11111112D．11111113解析：根据数塔的规律，后面加几结果就是几个1，∴1234567×9＋8＝11111111.答案：B4．在等差数列与等比数列中，它们的性质有着很多类比性，若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，对于正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则有am＋an＝ap＋aq，类比此性质，则有()A．bm＋bn＝bp＋bqB．bm－bn＝bp－bqC．bmbn＝bpbqD.＝解析：由等比数列的性质得bmbn＝bpbq.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：1通过观察可以发现：第4个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根．解析：第1个图形有4×1＝4根火柴棒，第2个图形有4×2－1＝7根火柴棒，第3个图形有4×3－2＝10根火柴棒，第4个图形有4×4－3＝13根火柴棒，由此归纳猜想：第n个图形中有4×n－(n－1)＝3n＋1根火柴棒．答案：133n＋16．给出下列推理：(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，四边形的内角和为(4－2)·180°，五边形的内角和为(5－2)·180°，…所以凸n边形的内角和为(n－2)·180°；(2)三角函数都是周期函数，y＝tanx是三角函数，所以y＝tanx是周期函数；(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物．所以，所有的动物都是有骨骼的；(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．其中属于合情推理的是________．(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．答案：(1)(3)(4)三、解答题(每小题10分，共20分)7．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线；…，由此猜想凸n边形有几条对角线？解析：因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…，于是猜想凸n边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2)条对角线，由此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)，由等差数列求和公式可得n(n－3)(n≥4，n∈N*)．所以凸n边形的对角线条数为n(n－3)(n≥4，n∈N*)．8．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解析：如图所示，在四面体P－ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.29.(10分)观察下列各式：1＝1,1＋＝，1＋＋＝，1＋＋＋＝，由上述等式能得到怎样的结论？写出结论并加以证明．解析：通过观察上面给出的各个式子，可以发现这些等式中蕴涵的基本规律，这个规律可以用一个等式来表示，即1＋＋＋…＋＝(n∈N*)．这一结论的证明如下：由于＝＝2，∴1＋＋＋…＋＝2＝2＝.3
