2.4一些常见曲线的参数方程一、选择题1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()A．只有圆才有渐开线B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C．正方形也可以有渐开线D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同2．半径为1的圆的渐开线的参数方程为()A.(θ为参数)B.(θ为参数)C.(θ为参数)D.3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有()A．①③B．②④C．②③D．①③④4．如下图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH，…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是()A．3πB．4πC．5πD．6π二、填空题6．已知摆线的生成圆的直径为80mm，则摆线的参数方程为____________________________________，其一拱的宽为________，拱高为________．7．已知参数方程为(α为参数)，则该圆的渐开线参数方程为__________________________，24摆线参数方程为____________________________．8．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________________．三、解答题9．当φ＝，π时，求出渐开线(φ为参数)上的对应点A，B，并求出A，B间的距离．10．已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A，B对应的参数分别为和，求点A、B的直角坐标．25渐开线与摆线答案1．C2.C3.C4．C5.(φ为参数)80πmm80mm6.(φ为参数)(φ为参数)7．(6，0)和(－6，0)8．解析：将φ＝代入得x＝cos＋sin＝1，y＝sin－cos＝1.∴A.将φ＝π代入得x＝cosπ＋πsinπ＝－1，y＝sinπ－πcosπ＝π.∴B(－1，π)．故A，B间的距离为|AB|＝＝9．解析：根据题设条件可知圆的半径为1，所以对应的渐开线的参数方程为(φ为参数)．将φ＝代入得x＝cos＋sin＝＋π，y＝sin－cos＝－.∴A点的坐标为.当φ＝时，同理可求得B点的坐标为.10．解析：当y＝2时，有2(1－cosφ)＝2，∴cosφ＝0.又0≤φ≤2π，∴φ＝或φ＝.当φ＝时，x＝π－2；当φ＝时，x＝3π＋2.∴摆线与直线y＝2的交点为(π－2，2)，(3π＋2，2)．26
