第17课时利用导数研究函数的极值(限时：10分钟)1．设函数f(x)＝＋lnx，则()A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点解析：由f′(x)＝－＋＝＝0可得x＝2.当0＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故x＝2为f(x)的极小值点．答案：D2．已知函数y＝|x2－1|，则()A．y无极小值，且无极大值B．y有极小值－1，但无极大值C．y有极小值0，极大值1D．y有极小值0，极大值－1解析：函数y＝|x2－1|的大致图象如图所示．∴函数y有极小值0，极大值1，故选C.答案：C3．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)，其中a≠0，并且在x＝1或x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是()A．(a，b)B．(a，c)C．(b，c)D．(a＋b，c)解析： f(x)＝ax3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.又 在x＝1或x＝－1处f(x)取极值，∴x＝1或x＝－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．∴－＝0，b＝0.∴点(a，b)在x轴上．答案：A4．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间内单调递增；②函数y＝f(x)在区间内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．1则上述判断正确的是__________．(填序号)解析：函数的单调性由导数的符号确定，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，－2)上为减函数，同理f(x)在(2,4)上为减函数，在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x＝2的左侧递增，右侧递减，所以x＝2时，函数有极大值；而在x＝－的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x＝－的左右两侧均为增函数，所以x＝－不是函数的极值点．排除④和⑤.答案：③5．已知函数f(x)＝－x3＋bx2＋cx＋bc，如果函数f(x)在x＝1处有极值－，求b，c的值．解析： f′(x)＝－x2＋2bx＋c，由f(x)在x＝1处有极值－，可得解得或若b＝1，c＝－1，则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，此时f(x)没有极值；若b＝－1，c＝3，则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)单调递减极小值－12单调递增极大值－单调递减∴当x＝1时，f(x)有极大值－，故b＝－1，c＝3即为所求．(限时：30分钟)1．函数f(x)＝x＋2cosx在上的极大值点为()A．0B.C.D.解析：f′(x)＝1－2sinx，令f′(x)＝0知x＝.当0＜x＜时，f′(x)＞0；当＜x＜时，f′(x)＜0.∴当x＝时，f(x)有极大值．答案：B2．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．2其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：③④正确．f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝3x2－6x＞0，得x＞2或x＜0；令f′(x)＝3x2－6x＜0，得0＜x＜2，∴函数f(x)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减．当x＝0和x＝2时，函数分别取得极大值0和极小值－4.答案：B3．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A．(2,3)B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，3)解析：因为函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．答案：B4．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的()A．极大值为，极小值为0B．最大值为0，最小值为－C．极小值为－，极大值为0D．最小值为0，最大值为解析：f′(x)＝3x2－2px－q. f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，∴f′(1)＝3－2p－q＝0，且f(1)＝1－p－q＝0，∴p＝2，q＝－1，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，f(x)＝x3－2x2＋x.令f′(x)＝0，得x＝或x＝1.当x＜时，f′(x)＞0；当＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.∴f(x)＝x3－2x2＋x在上递增，在上递减，在(1，＋∞)上递增．∴当x＝时，f(x)极大值＝－...
