高二数学第三章第4节4.3直线与圆锥曲线的位置关系北师大版选修2【本讲教育信息】一、教学内容选修2－1直线与圆锥曲线的位置关系二、教学目标：（1）熟练的掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法，会求直线与圆锥曲线相交时的弦长、定值、范围等问题。（2）体会方程的数学思想、转化的数学思想及差点法、判别式法、参数法等数学思想方法应用。三、知识要点分析：1、直线与圆锥曲线的位置关系的判断，（直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离）（1）直线与椭圆的位置关系。设直线L方程是：,椭圆方程是，则由消去y：得（*）设方程（*）的判别式(i)若方程（*）有两不等实根直线L与椭圆相交直线与椭圆有两个不同的公共点。(ii)若方程（*）有两个相等的实根直线L与椭圆相切直线与椭圆只有一个公共点。(iii)若方程（*）无实根直线L与椭圆相离直线与椭圆无公共点。(2)直线与双曲线的位置关系设直线L：，双曲线方程：当直线L与双曲线的渐近线平行时：直线L与双曲线相交有一个公共点或没有公共点。当直线L与双曲线的渐近线不平行时：消去y得关于x的方程：（*）若方程（*）有两不等实根直线L与双曲线相交直线与双曲线有两个不同的公共点。若方程（*）有两个相等的实根直线L与双曲线相切直线与双曲线只有一个公共点。若方程（*）无实根直线L与双曲线相离直线与双曲线无公共点。注：当直线L与双曲线只有一个公共点时，直线L与双曲线可能相交，也可能相切。（3）设直线L：,设抛物线方程为若直线L与抛物线的对称轴平行或重合时，直线L与抛物线相交有一个交点若直线L与抛物线的对称轴不平行或不重合时：消去y得：（*）若方程（*）有两不等实根直线L与抛物线相交直线与抛物线有两个不同的用心爱心专心公共点。若方程（*）有两个相等的实根直线L与抛物线相切直线与抛物线只有一个公共点。若方程（*）无实根直线L与抛物线相离直线与抛物线无公共点。注：当直线L与抛物线只有一个公共点时可能相交也可能相切。2、直线L与圆锥曲线相交时的弦长。设直线L与圆锥曲线交于，直线L的斜率为k,则==四：典型例题分析考点一：直线与圆锥曲线的位置关系的研究例1：已知双曲线直线L:，讨论直线L与双曲线的公共点个数。【思路分析】：当直线L的方程与双曲线方程组成方程组，消去y得到关于x的一元方程，（1）若直线L与双曲线的渐近线平行时m=0,（2）当直线L与双曲线的渐近线不平行，然后讨论方程根的个数。解：将②代入①得：③（i）当,方程2x=5,方程组有一解，此时直线L与双曲线相交，有一个公共点。（此时直线L与双曲线的渐近线平行）（ii）当时，时，方程组有两个解，直线L与双曲线有两个公共点。若，即当时，方程组有一解，即直线L与双曲线有一个公共点。若，即时，方程组无解，即直线L与双曲线无公共点。综合上述：当时，直线L与双曲线只有一个公共点，当时，直线L与双曲线有两个公共点。当时，直线L与双曲线无公共点。考点二：弦长及中点弦的问题的研究例2、过点P(－1，1)的直线与椭圆交于A、B两点，若线段AB的中点恰为P点，求AB所在的直线方程及弦长|AB|。【思路分析】：设A，把A、B两点的坐标代入椭圆方程相减（点差法）用心爱心专心及由中点坐标公式求出直线AB的斜率，从而可求直线AB所在的直线的方程。再根据弦长公式求|AB|解：设A，由A、B两点在椭圆上得：，两式相减得：①显然，故由①得：因为P是AB的中点，所以有：②把②代入①得：，故AB的直线方程是即x－2y+3=0消去y得：，例3、过椭圆内一定点M(1,0)引弦，求弦的中点轨迹方程。【思路分析】：用“点差法”及中点坐标公式表示出弦的斜率，然后利用点斜式求出中点轨迹方程解：设弦的两端点，弦中点是P(x，y)两式相减得：（*）由P是P1P2的中点得：代入（*）得：即弦的斜率k=,故弦的中点轨迹方程是y－0=整理得：【说明】：由于M(1,0)在椭圆的内部，过M的直线必与椭圆有两个交点。考点三：范围与最值问题例4、试确定的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称。【思路分析】：设椭圆上存在关于直线对称，AA’的中点是,用“点差法”及中点坐标公式求出AA’的斜率（用表示，因AA’与直线用心爱心专心y=4x+m垂直，可得关于的方程，再由M点在直线...
