3.3.3导数的实际应用课堂探究探究一与几何有关的最值问题解决与面积、体积等与几何有关的最值问题，关键是正确引入变量，将面积或体积表示为该变量的函数，结合具体问题确定其定义域，然后利用导数求其最值．【典型例题1】用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积．思路分析：设出容器底面一边长为xm，表示出容器的另一边及高，利用长方体的体积公式，将其表示为x的函数，利用导数求解．解：设容器底面一边长为xm，则另一边长为(x＋0.5)m，高为＝3.2－2x.由3.2200xx－＞，＞，解得0＜x＜1.6.设容器的容积为ym3，则y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，所以y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，令y′＝0，则15x2－11x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去)．在定义域(0,1.6)内只有x＝1使y′＝0，即x＝1是函数y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x在(0,1.6)内的唯一的极大值点，也就是最大值点．因此，当x＝1时y取得最大值ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8，这时高为3.2－2×1＝1.2.故容器的高为1.2m时容积最大，最大值为1.8m3.探究二利润最大(成本最低)问题经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减快慢，通常以产量或单价为自变量建立函数关系，从而利用导数来分析、研究．【典型例题2】某商场从生产厂家以每件20元的进价购进一批商品，若该商品的售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2.问该商品零售价定为多少时利润最大，最大利润是多少？思路分析：建立销售利润关于零售价的函数，应用导数研究最值．解：设利润为L(p)，由题意可得L(p)＝(p－20)·Q＝(p－20)(8300－170p－p2)＝－p3－150p2＋11700p－166000(p＞0)，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，得p＝30或p＝－130(舍去)．则L(30)＝23000.因为0＜p＜30时，L′(p)＞0；p＞30时，L′(p)＜0，所以p＝30时，L(p)取得极大值．根据实际问题的意义知，L(30)就是最大值，即零售价定为每件30元时，利润最大，最大利润为23000元．1
