初中数学两个全等模式在解、证几何题中的应用面对一道几何题，准确迅速地寻求到解、证途径，对提高解、证题的速度显得至关重要．那么，怎样才能准确迅速地寻求到解、证题途径呢?利用模式识别法是解决这一问题的一种有效方法．现介绍两个全等模式，并举例说明它们在解、证几何题中的广泛应用．全等模式1如图1，若l1∥l2，点A、C在l1上，点B在l2上，O是线段AB的中点，则延长CO交l2于点D，能得出△BOD≌△AOC。全等模式2如图2，若点A、C在l1上，点B是l1外一点，点O是线段AB的中点，则过点B作l2∥l1交CO的延长线于点D，则△BOD≌△AOC。要解、证的几何题若具备（或能推出）全等模式中的已知条件，则可以通过作辅助线来构造出某个全等模式，得出一对全等三角形，出现一些新的相等（如角、线段）关系，为解证题创造出新的条件，同时可以起到点拨思路、展开思路，迅速获得解、证题途径的效果．下面分类举例说明之．1、用于证明线段相等例1、如图3，已知：过点A作射线AF，过C、B作AF的垂线，垂足分别为E、F，M为BC的中点，连结MF、ME．求证：ME=MF．证明：延长FM交EC于点N．由BF⊥AF，CE⊥AF，得BF∥CE。又M为BC的中点，所以△BMF≌△CMN，所以MF=MN。所以EM=FN/2=MF，故ME=MF。例2、如图4，在△ABC中，BD=DC，BF交AD、AC于点E、F，且AF=EF。求证：BE=AC。证明：如图4，过点C作CM∥BF交AD的延长线于点M，则△CDM≌△BDE。从而MC=BE，∠M=∠BED=∠AEF。因为AF=EF，所以∠AEF=∠EAF。因为∠M=∠MAC，因此MC=AC，所以BE=AC。2、用于证明角的相等例3、如图5，平行四边形ABCD中，E为边CD的中点，AP⊥BE，P为垂足，连结PD。求证：∠DAP=∠DPA。证明：如图5，延长BE交AD的延长线于点M，则△MED≌△BEC，所以DM=BC。又AD=BC，所以AD=DM。又AP⊥BE，所以DA=DP，故∠DAP=∠DPA。例4、如图6，△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC。求证：∠BAE=∠CAE。证明：如图6，过C作CM∥DF交AE的延长线于点M，则△CEM≌△DEF，所以CM=DF。又DF=AC，所以CM=AC，因此∠M=∠CAE。因为DF∥AB，所以∠DFE=∠M=∠BAE，所以∠BAE=∠CAE。3、用于证明线段的倍分例5、如图7，△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连结CD和CE。求证：CD=2CE。证明：过点A作AF∥BC交CE的延长线于F，则△AEF≌△BEC，所以FE=EC，AF=BC。因为AB=AC，AB=BD，所以AC=BD。又易证∠CAF=∠CBD，所以△ACF≌△BDC，所以CF=CD，故CD=2CE。例6、如图8，在平行四边形ABCD中，N是AB中点，3BE=BC，NE与BD交于点F。求证：FD=4BF。证明：如图8，延长EN交DA的延长线于点M，则△ANM≌△BNE，所以AM=BE。因为AD=BC，3BE=BC，所以4BE=MD。由BC∥DM，得BF/FD=BE/MD=1/4，所以FD=4BF。4、用于证明线段（或线段的平方）的和差例7、如图9，E是正方形ABCD的边CD中点，F是BC上一点，且AE平分∠DAF。求证：AF=AB+FC。证明：如图9，连结FE交AD的延长线于点M，则△EDM≌△ECF，所以EM=EF，DM=FC。又∠1=∠2，所以AE⊥FM，因此AF=AM=AD+DM。因为AD=AB，所以AF=AB+FC。例8、如图10，△ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且∠MDN=90°，如果BM2+CN2=DM2+DN2。求证：。证明：如图10，过点B作BE∥AC交ND的延长线于点E，连结ME、MN，则△BDE≌△CDN，所以DE=DN，BE=CN，∠EBC=∠C。因为∠MDN=90°，所以MD⊥EN，从而ME=MN。因为，所以，所以∠MBE=90°，因为∠ABC+∠EBD=∠ABC+∠C=90°。所以∠BAC=90°，所以。又BC=2AD，所以。例9、如图11，△ABC中，M为BC的中点，D为BM上一点，DF∥MA，分别交AB于E，交CA的延长线于F。求证：DE+DF=2AM。证明：过点B作BN∥AC分别交FE、AM的延长线于点H、N，则△BNM≌△CAM，所以AM=MN。由AN∥FH，得四边形HNAF为平行四边形，所以FH=AN=2AM。由EH∥AN，AM=MN，得ED=DH。所以DE+DF=DH+DF=FH=2AM。5、用于证明角的倍分例10、如图12，平行四边形ABCD中，BC=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB，E为垂足。求证：∠DME=3∠AEM。证明：如图12，延长EM交CD的延长线于点N，连结CM，则△NMD≌△EMA，所以NM=ME，∠N=∠AEM。因为AB∥CD，CE⊥AB，所以EC⊥CD。所以MC为Rt△ECN斜边EN上的中线，所以M...
