数系的扩充和复数的概念(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x的值为()A.1B.±1C.-1D.-2【解题指南】根据复数的概念,列方程求解.【解析】选A.由x2-1=0得,x=±1,当x=-1时,x2+3x+2=0,不合题意,当x=1时,满足,故选A.【一题多解】本题还可用以下方法求解:选A.检验法:x=1时,原复数为6i,满足;x=-1时,原复数为0,不满足,当x=-2时,原复数为3,不满足.故选A.2.(2015·银川高二检测)已知x，y∈R，且(x+y)+2i=4x+(x-y)i，则()A.B.C.D.【解析】选C.由复数相等的条件得解得【补偿训练】已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.求实数x，y的值.【解析】因为x，y是实数，所以解得3.(2015·临沂高二检测)若复数z1=sin2θ+icosθ，z2=cosθ+isinθ，z1=z2，则θ等于()A.kπ(k∈Z)B.2kπ+(k∈Z)C.2kπ±(k∈Z)D.2kπ+(k∈Z)【解题指南】由复数相等的定义，列方程组求解.1【解析】选D.由z1=z2，可知所以cosθ=，sinθ=.所以θ=+2kπ，k∈Z，故选D.【补偿训练】1.已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R)，z2=2cosθ+(λ+3cosθ)i(λ∈R)，若z1=z2，则λ的取值范围是.【解析】因为z1=z2，所以所以λ=4-cosθ.又因为-1≤cosθ≤1.所以3≤4-cosθ≤5.所以λ∈[3，5].答案：[3，5]2.已知复数z1=x+2+(y+1)i，z2=2014+2015i，x，y∈R，若z1=z2，求x和y的值.【解析】根据复数相等的充要条件a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a，b，c，d∈R)，可得解得4.已知关于x的方程x2-6x+9+(a-x)i=0(a∈R)有实数根b,则实数ab的值为()A.1B.3C.-3D.9【解析】选D.将b代入题设方程,整理得(b2-6b+9)+(a-b)i=0,则b2-6b+9=0且a-b=0,解得a=b=3,ab的值为9.5.下列说法正确的是()A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B.若a，b∈R且a>b，则ai>biC.如果复数x+yi是实数，则x=0，y=0D.当z∈C时，z2≥0【解析】选A.由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差2都为0.故A正确；两个复数都是实数时才能比较大小，故B错误；复数x+yi∈R⇔故C错误；当z=i时，z2=-1<0，故D错误.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知a∈R,且(a-2)+(a2-a-2)i=0,a的值为.【解析】因为a∈R,且(a-2)+(a2-a-2)i=0,所以解得a=2.答案:2【误区警示】在某一复数等于0时,要保证实部、虚部均为0.7.若2+ai=b-i,其中a,b∈R,i为虚数单位,则a2+b2=.【解析】因为2+ai=b-i(a,b∈R),所以a=-1,b=2,所以a2+b2=5.答案:58.给出下列说法:①复数由实数、虚数、纯虚数构成;②满足x2=-1的数x只有i;③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数;④复数m+ni的实部一定是m.其中正确说法的个数为.【解析】③中b=0时bi=0不是纯虚数.故③正确.①中复数分为实数与虚数两大类;②中平方为-1的数为±i;④中m,n不一定为实数,故①②④错误.答案:1三、解答题(每小题10分，共20分)9.复数z=(m2-5m+6)+(m2+3m-10)i(m∈R),求满足下列条件的m的值.(1)z是实数.(2)z是虚数.(3)z是纯虚数.【解析】(1)若z是实数,则m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5.(2)若z是虚数,则m2+3m-10≠0,解得m≠2且m≠-5.3(3)若z是纯虚数,则解得m=3.10.集合M={1，2，(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i}，N={3，10}，且M∩N≠∅，求实数m的值.【解题指南】通过M∩N≠∅可得出(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i的值，再利用复数相等的充要条件求解.【解析】因为M∩N≠∅，所以(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=3或(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=10，由(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=3得解得m=-2.由(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=10得解得m=-3.所以m的值为-2或-3.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·唐山高二检测)已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合P={-1,3},M∩P={3},则实数m的值为()A.-1B.-1或4C.6D.6或-1【解题指南】应从M∩P={3}来寻找解题的突破口.【解析】选A.因为M∩P={3},所以(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3.所以所以m=-1,故选A.2.复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)是纯虚数,则有()A.a≠0B.a≠2C.a≠-1且a≠2D.a=-1【解析】选D.只需即a=-1时,复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)为纯虚数.二、填空题(每小题5分，共10分)3.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,则k=.【解析】因为z<0,所以z∈R,故虚部k2-5k+6=0,(k-2)(k-3)=0,所以k=2...
