第2课时圆锥曲线的定点、定值、存在性问题1．(2019·山西太原模拟)已知动点C到点F(1,0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，动点C的轨迹为E.(1)求曲线E的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(km<0)与曲线E相交于A，B两个不同点，且OA·OB＝5，证明：直线l经过一个定点．解析：(1)由题意可得动点C到点F(1,0)的距离等于到直线x＝－1的距离，∴曲线E是以点(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线．设其方程为y2＝2px(p>0)，∴＝1，∴p＝2，∴曲线E的方程为y2＝4x.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，Δ＝(2km－4)2－4m2k2＝16(1－km)>0.∵OA·OB＝5，∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝5，∴m2＋4km－5k2＝0，∴m＝k或m＝－5k.∵km<0，则m＝k舍去，∴m＝－5k，满足Δ＝16(1－km)>0，∴直线l的方程为y＝k(x－5)，∴直线l必经过定点(5,0)．2．(2019·成都模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M∥F2N，直线F1M的斜率为2，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求3k1＋2k2的值．解析：(1)由题意，得2b＝4，＝，又a2－c2＝b2，∴a＝3，b＝2，c＝1.∴椭圆方程为：＋＝1.(2)由(1)，可知A(－3,0)，B(3,0)，F1(－1,0)，据题意，F1M的方程为y＝2(x＋1)．记直线F1M与椭圆的另一交点为M′，设M(x1，y1)(y1>0)，M′(x2，y2)，∵F1M∥F2N，根据对称性，得N(－x2，－y2)，联立消去y，得14x2＋27x＋9＝0.∵x1>x2，∴x1＝－，x2＝－，∵k1＝＝＝，k2＝＝＝.∴3k1＋2k2＝3×＋2×＝0，即3k1＋2k2的值为0.3．(2019·山东济宁模拟)已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点M是直线y＝x与抛物线E在第一象限内的交点，且|MF|＝5.(1)求抛物线E的方程；(2)如图，不过原点的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与y轴相交于点Q，过点A，B分别作抛物线E的切线，与x轴分别相交于C，D两点．判断直线QC与直线BD是否平行？直线QC与直线QD是否垂直？并说明理由．解析：(1)依题意，设点M(t，t)(t>0)．由|MF|＝5，得t＋＝5.①又点M在抛物线E上，则t2＝2pt(t>0)，即t＝2p，②联立①②，解得p＝2，所以抛物线E的方程为x2＝4y.(2)由(1)知抛物线E：x2＝4y，设直线l的方程为y＝kx＋b(b≠0)，则Q(0，b)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－4kx－4b＝0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.由x2＝4y得y＝x2，从而y′＝x，所以过点A(x1，y1)的切线方程为y－x＝(x－x1)，令y＝0，得C，同理可得D，所以kQC＝＝－＝－＝，kBD＝＝＝，所以QC∥BD.若QC⊥QD，则QC·QD＝·＋(－b)·(－b)＝＋b2＝b2－b＝0，解得b＝1(b＝0舍去)，所以当Q为焦点F时，b＝1，此时QC⊥QD；当Q不为焦点F时，QC与QD不垂直．4．(2019·上海模拟)已知抛物线方程y2＝4x，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：d(P)＝.(1)当P时，求d(P)；(2)证明：存在常数a，使得2d(P)＝|PF|＋a；(3)P1，P2，P3为抛物线准线上三点，且|P1P2|＝|P2P3|，判断d(P1)＋d(P3)与2d(P2)的关系．解析：(1)抛物线方程y2＝4x的焦点F(1,0)，P，kPF＝＝，PF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线的方程，解得xQ＝，抛物线的准线方程为x＝－1，可得|PF|＝＝，|QF|＝＋1＝，d(P)＝＝.(2)证明：当P(－1,0)时，a＝2d(P)－|PF|＝2×2－2＝2，设P(－1，yP)，不妨设yP>0，PF：x＝my＋1，则myP＝－2，联立x＝my＋1和y2＝4x，可得y2－4my－4＝0，yQ＝＝2m＋2，2d(P)－|PF|＝2－yP＝2·＋＝－2·＋＝2，则存在常数a，使得2d(P)＝|PF|＋a.(3)设P1(－1，y1)，P2(－1，y2)，P3(－1，y3)，则2[d(P1)＋d(P3)]－4d(P2)＝|P1F|＋|P3F|－2|P2F|＝＋－2＝＋－2＝＋－，由(＋)2－[(y1＋y3)2＋16]＝2－2y1y3－8，(4＋y)(4＋y)－(y1y3＋4)2＝4(y＋y)－8y1y3＝4(y1－y3)2>0，则d(P1)＋d(P3)>2d(P2)．
