不等式证明的基本方法·例题例5-2-7已知a，b，c∈R+，证明不等式：当且仅当a=b=c时取等号。解用综合法。因a＞0，b＞0，c＞0，故有三式分边相加，得当且仅当a=b=c时取等号。例5-2-8设t＞0。证明：对任意自然数n，不等式tn-nt+(n-1)≥0都成立，并说明在什么条件下等号成立。解当n=1时，不等式显然成立，且取等号。当n≥2时，由幂分拆不等式，可得以下n-1个不等式：t2+1≥t+t，t3+1≥t2+t，…，tn-1+1≥tn-2+t，tn+1≥tn-1+t以上各式当且仅当t=1时取等号。把它们分边相加，得故对任意n∈N，不等式获证。等号成立的条件是n=1，或t=1。用心爱心专心1注①在以上不等中令t=1+x(x＞-1)，即得著名的贝努利不等式(1+x)n≥1+nx例5-2-9设a，b，c都是正数，证明不等式当且仅当a=b=c时取等号。分析本例有多种精彩证法。根据对称性，可从左边一项、两项入手，当然也可根据平均值不等式或幂分拆不等式从整体入手。解[法一]从一项入手，适当配凑后由平均值不等式知三式分边相加，即得时，上式取等号。[法二]从两入手，利用幂分拆不等式，有用心爱心专心2同理有三式分边相加，得[法三]从整理入手，原不等式等价于进一步证明参考习题5-2-7(1)解答。[法四]由平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x，y，∈R+)的变式用心爱心专心3三式分边相加，得所以注从证法4我们看到，利用平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x，式不等式，思路自然，简捷明快，颇具特色。例5-2-10已知关于x的实系数方程x2+px+q=0有两个实数根α，β。证明：若|α|＜2，|β|＜2，则|q|＜4，且2|p|＞4+q。解先证|q|＜4，由韦达定理知|q|=|αβ|=|α|·|β|＜2×2=4再证2|p|＞4+q。欲证不等式即0≤2|α+β|＜4+αβ。故只须证用心爱心专心44(α+β)2＜(4+αβ)2即4α+8αβ+4β2＜16+8αβ+α2β2从而只须证16-4α2-4β2+α2β2＞0即(4-α2)(4-β2)＞0由|α|＜2，|β|＜2，知α2＜4，β2＜4，故最后不等式成立，从而原不等式得证。例5-2-11证明：若a，b，c是三角形的三边，则3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2＜4(ab+bc+ca)当且仅当三角形为正三角形时，左边取等号。解左边不等式等价于3(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)欲证此不等式成立，只须证ab+bc+ca≤a2+b2+c2即证2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)≥0左边配方即为(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0此不等式显然成立，当且仅当a=b=c，即三角形为正三角形时取等号。故左边不等式获证。欲证右边不等式，仿上只须证a2+b2+c2＜2(ab+bc+ca)从而只须证(ab+ac-a2)+(ab+bc-b2)+(bc+ca-c2)＞0即证用心爱心专心5a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(b+a-c)＞0由于a，b，c是三角形的三边，此不等式显然成立，故右边不等式获证。综上所述，原不等式得证。例5-2-12设f(x)=x2+px+q(p，q∈R)，证明：(2)若|p|+|q|＜1，则f(x)=0的两个根的绝对值都小于1。解用反证法但是，|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)-2f(2)+f(3)=(1+p+q)-2×(4+2p+q)+(9+3p+q)=2(ii)(i)与(ii)矛盾，故假设不成立，即原命题成立。(2)假设f(x)=0的两根x1，x2的绝对值不都小于1，不妨设|x1|≥1，那么由韦达定理，有|p|=|-(x1+x2)|=|x1+x2|≥|x1|-|x2|≥1-|x2||q|=|x1x2|=|x1|·|x2|≥|x2|两式分边相加，得|p|+|q|≥1这与题设矛盾，故假设不成立，即原命题得证。注反证法的逻辑程序是：否定结论→推出矛盾→肯定结论。反证法常用于直接证明难于入手的命题，或结论中含“不存在”、“都是”、“都不是”、“至少”、“至多”、之类的存在性命题。用心爱心专心6用心爱心专心7
