（江苏专用）高考数学大一轮复习 第九章 第53课 空间几何体的表面积与体积要点导学-人教版高三全册数学试题VIP免费

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第九章第53课空间几何体的表面积与体积要点导学要点导学各个击破与几何体的表面积有关的问题(2014·方城模拟)已知正四棱锥的底边和侧棱长均为32,那么该正四棱锥的外接球的表面积为.[答案]36π[解析]由于正四棱锥的底边和侧棱长均为32,则此四棱锥底面正方形的外接圆即是外接球的一轴截面,故外接球的半径是3,则该正四棱锥的外接球的表面积为4π×32=36π.如图(1),在△ABC中,AB=2,BC=2,∠ABC=120°,若将△ABC绕BC旋转一周,求所形成的旋转体的表面积.图(1)图(2)(变式)[解答]如图(2),过点A作AD⊥BC,与CB交于点D,所得旋转体是以AD为半径、DC为高的圆锥,挖去一个以AD为半径、DB为高的圆锥.在△ABC中,AB=2,BC=2,∠ABC=120°,则AD=3,AC=23,所以旋转体表面积为π×AD×(AC+AB)=π×3×(2+23)=23π(1+3).与几何体的体积有关的问题(2014·北京卷)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别为A1C1,BC的中点.1(例2)(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.[解答](1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,BB1∩BC=B,所以AB⊥平面B1BCC1.因为AB平面ABE,所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)取AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且FG=12AC.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FC∥EC1,且FG=EC1,所以四边形FGEC1为平行四边形,所以C1F∥EG.又因为EG平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB=22-ACBC=3,所以三棱锥E-ABC的体积为V=13S△ABC·AA1=13×12×3×1×2=33.[精要点评](1)正确地记忆和运用公式是求多面体体积的前提;(2)正确求某些关键量是求多面体体积的关键;(3)对于不能直接求体积的复杂问题,要时刻关注转化.(2014·福建卷)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(1)求证:CD⊥平面ABD;(2)若AB=BD=CD=1,M为AD的中点,求三棱锥A-MBC的体积.2(变式)[解答](1)因为AB⊥平面BCD,CD平面BCD,所以AB⊥CD.又CD⊥BD,AB∩BD=B,AB平面ABD,BD平面ABD,所以CD⊥平面ABD.(2)由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD.因为AB=BD=1,所以S△ABD=12.因为M是AD的中点,所以S△ABM=12S△ABD=14.由(1)知,CD⊥平面ABD,因此VA-MBC=VC-ABM=13S△ABM·CD=112.简单几何体的综合问题如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,D,E分别为A1B1,AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=14AB.(例3)(1)求证:EF∥平面BDC1.(2)在棱AC上是否存在一个点G,使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15?若存在,指出点G的位置;若不存在,请说明理由.3[思维引导](1)取AB的中点M,由A1M∥BD可得EF∥BD,从而EF∥平面BDC1;(2)假设AC上存在一点G,使平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积比为1∶15,即EAFGV∶111ABCABCV=1∶16,从而得出AG=32AC>AC矛盾.[解答](1)如图,取AB的中点M,因为AF=14AB,所以点F为AM的中点,又因为点E为AA1的中点,所以EF∥A1M.在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,M分别为A1B1,AB的中点,所以A1D∥BM,A1D=BM,所以四边形A1DBM为平行四边形,所以A1M∥BD,所以EF∥BD.因为BD平面BC1D,EF⊄平面BC1D,所以EF∥平面BC1D.(2)假设AC上存在一点G,使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1∶15,则EAFGV∶111ABCABCV=1∶16,因为111EAFGABCABCVV=111i3212AFAGsnGAFAEABACsinCABAA=124·AGAC,所以AGAC=32,所以AG=32AC>AC,所以符合要求的点G不存在.(2014·江西卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证:AB⊥PD;(2)若∠BPC=90°,PB=2,PC=2,则AB为何值时,四棱锥P-ABCD的体积最大?(变式)[解答](1)因为ABCD为矩形,所以AB⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,4所以AB⊥平面PAD,故AB⊥PD.(2)过点P作PO⊥AD,垂足为O,过点O作OG⊥BC垂足为G,连接PG,则PO⊥平面ABCD,BC⊥平面POG,BC⊥PG.在Rt△BPC中,BC=6,则PG=233,GC=263,BG=63.设AB=m,则OP=22-PGOG=24-3m,故四棱锥P-ABCD的体积为V=13×6·m·24-3m=28-63mm.因为m28-6m=248-6mm=2228-6-33m,所以当m=63,即AB=63时,四棱锥P-ABCD的体积最大.如图(1),在直角梯形ABCD中,AB...