6.4数列求和、数列的综合应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点数列的求和掌握特殊数列求和的方法.2018浙江,20错位相减法求和等差数列、等比数列★★★2016浙江文,17数列求和等比数列的通项公式2015浙江文,17错位相减法求和递推数列通项公式的求法2014浙江,19裂项相消法求和数列通项公式的求法数列的综合应用能利用等差数列、等比数列解决相应问题.2018浙江,20等差数列、等比数列的综合运用错位相减法求和★★★数学归纳法了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.2017浙江,22数学归纳法不等式及其应用★★☆分析解读1.等差数列和等比数列是数列的两个最基本的模型,是高考中的热点之一.基本知识的考查以选择题或填空题的形式呈现,而综合知识的考查则以解答题的形式呈现.2.以数列为载体来考查推理归纳、类比的能力成为高考的热点.3.数列常与其他知识如不等式、函数、概率、解析几何等综合起来进行考查.4.数学归纳法常与数列、不等式等知识综合在一起,往往综合性比较强,对学生的思维要求比较高.5.预计2020年高考中,等差数列与等比数列的综合问题仍然是考试的热点,复习时要足够重视.破考点【考点集训】考点一数列的求和11.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),14)已知等差数列{an}的首项为a,公差为-2,Sn为数列{an}的前n项和,若从S7开始为负数,则a的取值范围为,Sn最大时,n=.答案[5,6);32.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,22)已知函数f(x)=x2+x,x∈[1,+∞),an=f(an-1)(n≥2,n∈N).(1)证明:-≤f(x)≤2x2;(2)设数列{}的前n项和为An,数列的前n项和为Bn,a1=,证明:≤≤.证明(1)f(x)-=x2+x-=>0,∴f(x)≥-.f(x)-2x2=x2+x-2x2=x-x2=x(1-x)≤0(x≥1),∴f(x)≤2x2,∴-≤f(x)≤2x2.(2)an=f(an-1)=+an-1⇒=an-an-1(n≥2),则An=++…+=an+1-a1=an+1-,an=+an-1=an-1(an-1+1)⇒==-⇒=-(n≥2),累加得:Bn=++…+=-=-,∴==an+1.由(1)得an≥-a⇒n+1+≥≥≥…≥,2∴an+1≥-∴=an+1≥3·-.an=f(an-1)≤2a⇒n+1≤2≤23≤…≤=·=·.∴=an+1≤×·=·,∴3·-≤≤·,即-1≤≤,而-1≥,∴≤≤.考点二数列的综合应用1.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),10)数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意n∈N*,总有Sn=.设bn=a4n+1,dn=3n(n∈N*),且数列{bn}中存在连续的k(k>1,k∈N*)项和是数列{dn}中的某一项,则k的取值集合为()A.{k|k=2α,α∈N*}B.{k|k=3α,α∈N*}C.{k|k=2α,α∈N*}D.{k|k=3α,α∈N*}答案B2.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,9)已知函数f(x)=sinxcosx+cos2x,0≤x0
0,an+1-an=-an=·an(an-1)(n∈N*).下面用数学归纳法证明:an<1.①n=1时,a1=a<1,结论成立.②假设n=k时,ak<1,当n=k+1时,ak+1-ak=ak(ak-1)<0,即ak+1,又a1=a,所以当n∈N*时,an≥.42.(2017浙江新高考临考冲刺卷,22)已知正项数列an满足:an+1=an-(n∈N*).(1)证明:当n≥2时,an≤;(2)设Sn为数列{an}的前n项和,证明:Sn<1+ln(n∈N*).证明(1)因为a2>0,所以a1->0,故00时,均有ln(1+x)>.设g(x)=ln(1+x)-,则g'(x)=-=>0,5所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,因此,当x>0时,g(x)>g(0)=0,即ln(1+x)>.在上述不等式中,取x=,则ln>,即ln>,所以,当n≥2时,Sn=a1+(a2+a3+…+an)
