高中数学第1章导数及其应用1.3.1单调性互动课堂苏教版选修2-2疏导引导本课时重点和难点是函数的单调性与导数的关系.1.函数的单调性与导函数的关系我们知道,如果函数f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说f(x)在这一区间具有单调性,先看下面的例子:函数y=f(x)=x2-4x+3的图象如图所示.考虑到曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数f(x)的导数,从图象可以看到:在区间(2,+∞)内,切线的斜率为正,即f′(x)＞0时,f(x)为增函数;在区间(-∞,2)内,切线的斜率为负,即f′(x)＜0时,f(x)为减函数.再观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.一般地,函数的单调性与导函数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内,如果f′(x)＞0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)＜0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.2.利用导数判断函数单调性(区间)的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x);(3)令f′(x)≥0解得函数f(x)的增区间；令f′(x)≤0解得函数f(x)的减区间.3.f′(x)＞0(或＜0)是函数递增(或递减)的充分条件.但这个条件并不是必要的.如:y=x3在实数集内是严格增函数,但f′(0)=0.在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0〔或f′(x)≤0〕,x∈(a,b)恒成立,且f′(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间.因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令f′(x)≥0〔或f′(x)≤0〕恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去,若f′(x)不恒为0,则由f′(x)≥0〔或f′(x)≤0〕恒成立解出的参数的取值范围确定.4.构造函数,再采用求导的方法,利用函数的单调性证明不等式,是证明不等式常运用的方法,要掌握好.其中关键在于构造恰当的函数,有利于问题的解决.5.利用导数解决题目还应注意(1)证函数f(x)在(a,b)内单调,可以用函数的单调性定义,也可用导数来进行判别,前者较1繁,后者较易,要注意若f(x)在(a,b)内个别点上满足f′(x)=0(或不存在但连续),其余点满足f′(x)＞0［或f′(x)＜0］,函数f(x)仍然在(a,b)内单调递增(或递减),即导数为零的点不一定是增、减区间的分界点.(2)对于含有字母系数的问题,根据题设正确地确定字母的取值范围是解决问题的关键之一.函数的导数与函数单调性的关系,为我们研究函数的单调性提供了有力的工具,在今后的学习中要养成使用导数研究函数单调性的习惯.案例1已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数，求t的取值范围.【探究】解法一依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t，则f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数，则在(-1,1)上可设f′(x)≥0.∴f′(x)≥0t≥3x2-2x,在区间(-1,1)上恒成立，考虑函数g(x)=3x2-2x,由于g(x)的图象是对称轴为x=,开口向上的抛物线，故要使t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立t≥g(-1),即t≥5.而当t≥5时，f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)＞0，即f(x)在(-1,1)上是增函数.故t的取值范围是t≥5.解法二依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数，则在(-1,1)上可设f′(x)≥0.∴f′(x)的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当f′(1)=t-1≥0,且f′(-1)=t-5≥0时f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)＞0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.故t的取值范围是t≥5.【规律总结】①这是导函数增减性的一个简单应用，也就是说，根据函数导数可判断增减性，反之也可以根据导函数的增减性，求有关的参变量.②对于含有字母系数的问题，根据题设正确地确定字母的取值范围是解决问题的关键之一.函数的导数与函数单调性的关系，为我们研究函数的单调性提供了有力的工具，在今后的学习中要养成使用导数研究函数单调性的习惯.案例2(2005福建高考)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图像过点P(0，2)，且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)求函数y=f(x)的单调区间.【探究】(1)由f(x)的图...
