第二篇专题八第1讲坐标系与参数方程[限时训练·素能提升](限时40分钟，满分40分)解答题(本题共4小题，每小题10分，共40分)1．(2018·广西三市联考)在以直角坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，在直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为(α为参数)．(1)求C1的直角坐标方程和C2的极坐标方程；(2)射线θ＝(ρ≥0)与C1异于极点的交点为A，与C2的交点为B，点D的直角坐标为(1，)，求△ABD的面积．解析(1)由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，根据互化公式，得C1的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，曲线C2的普通方程为＋y2＝1，根据互化公式，得ρ2(cos2θ＋2sin2θ)＝2，所以C2的极坐标方程是ρ＝.(2)联立得得点A的极坐标为A，联立得得点B的极坐标为B，所以|AB|＝－，又点D的极坐标为D，所以S△ABD＝S△OAD－S△OBD＝|OA||OD|sin－|OB||OD|sin＝|OD||AB|sin＝×2×＝－.2．(2018·广元一模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．解析(1)将方程消去参数α得x2＋y2－4x－12＝0，∴曲线C的普通方程为x2＋y2－4x－12＝0，将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式可得ρ2－4ρcosθ＝12，∴曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－12＝0.(2)设A，B两点的极坐标方程分别为，，由消去θ得ρ2－2ρ－12＝0，根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－2ρ－12＝0的两根，∴ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－12，∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.3．(2018·哈尔滨三模)在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C交于M，N两点．(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．解析(1)由题意可知，曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a>0)，直线l的普通方程为x－y－2＝0.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程y2＝2ax，整理得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.(*)Δ＝8a(4＋a)>0.设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的两个根．则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|.由|PM|，|MN|，|PN|成等比数列得(t1－t2)2＝|t1t2|，1即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|.由(*)得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)>0，则(4＋a)2－5(4＋a)＝0，解得a＝1，或a＝－4.∵a>0，∴a＝1.4．(2018·承德模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)，设直线l1与l2的交点为P，当k变化时点P的轨迹为曲线C1.(1)求出曲线C1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsin＝4，点Q为曲线C1的动点，求点Q到直线C2的距离的最小值．解析(1)将l1，l2的参数方程化为普通方程：l1：y＝k(x＋)，①l2：y＝(－x)，②①×②消k可得：＋y2＝1.因为k≠0，所以y≠0，所以C1的普通方程为＋y2＝1(y≠0)．(2)直线C2的直角坐标方程为x＋y－8＝0.由(1)知曲线C1与直线C2无公共点，由于C1的参数方程为(α为参数，α≠kπ，k∈Z)，所以曲线C1上的点Q(cosα，sinα)到直线x＋y－8＝0的距离为d＝＝，所以当sin＝1时，d的最小值为3.2
