初二数学矩形、菱形知识精讲 人教义务几何 试题VIP专享VIP免费

初二数学矩形、菱形知识精讲人教义务几何【学习目标】1．熟练掌握矩形、菱形的概念、性质定理和判定定理．2．能运用矩形、菱形的定义、性质定理和判定定理进行有关计算和证明．【主体知识归纳】1．矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等．矩形的判定（1）根据矩形的定义；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是矩形．2．菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形的性质：菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的判定（1）根据菱形的定义；（2）四条边都相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．3．若菱形的两条对角线长分别为a、b，则菱形的面积为S＝ab．4．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【基础知识精讲】1．应用矩形、菱形的判定方法时，一定要注意各自的前提条件，既要防止条件不足的判断，又要防止多余条件的判断．如“两条对角线相等的四边形是矩形”这是条件不足的错误判断；再如已知（或已证）四边形ABCD是平行四边形，而又证四条边都相等才判定为菱形，那是多余的，只要证有一组邻边相等就可以了．2．在计算菱形面积时应注意：除应用平行四边形面积的一般计算方法外，还可以根据菱形的对角线来计算面积．应用时可以根据已知条件灵活选用计算方法．【例题精讲】［例1］水泊宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种红色地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图4－34，则购买地毯至少需要_____元．图4—34分析：装修前需精打细算，买得太多形成浪费，买得太少又不够，要想买得正好，必须事先估算好，为此，可以延长楼梯的每一条水平线与高AB相交，再延长每一条铅垂线与底边BC相交，构成许多小矩形，由矩形的对边相等可知地毯的总长度为1＝2.6＋5.8＝8.4（米），所以地毯的总面积为S＝8.4×2＝16.8（平方米），地毯的总价格为总面积乘以单价．答案：504元［例2］工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是_____，根据的数学道理是_____；图4—35（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是_____，根据的数学道理是______．答案：（2）平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形．说明：这里把平行四边形、矩形的基本知识应用到实际当中，学习中应不断提高联系实际、解决实际问题的能力．［例3］如图4—36，M、N分别是ABCD的对边AD、BC上的中点，且AD＝2AB．求证：四边形PMQN为矩形．图4—36剖析：欲证四边形PMQN是矩形，由已知条件可看出，若连结MN，易证四边形PMQN是平行四边形，又四边形ABNM是菱形，所以∠MPN是90°，由矩形定义可判定结论成立．证明：连结MN， 四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC， M、N分别是AD、BC的中点，∴MDBN．∴四边形BMDN是平行四边形，∴BM∥DN，同理AN∥CM，∴四边形PMQN是平行四边形． AMBN，∴四边形ABNM是平行四边形．又 AD＝2AB，M为AD的中点，∴AB＝AM．∴四边形ABNM是菱形，∴AN⊥BM．即∠MPN＝90°．∴PMQN是矩形．说明：对于特殊的平行四边形的判定有一个原则，如要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等；或直接证明有三个角是直角．对于菱形的判定亦可类似地加以考虑．【同步达纲练习】1．选择题（1）已知菱形两个邻角的比是1∶5，高是8cm，则菱形的周长是（）A．16cmB．32cmC．64cmD．128cm（2）已知菱形的周长为40cm，两对角线长的比是3∶4，则两对角线的长分别是（）A．6cm，8cmB．3cm，4cmC．12cm，16cmD．24cm，32cm（3）ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条...