高二数学直接证明与间接证明知识精讲苏教版一.本周教学内容：直接证明与间接证明二.重点、难点：教学重点：了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．教学难点：分析法的证题格式与反证法的思想．三.基础知识与基本方法1、知识结构2、综合法一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．特点：“由因导果”综合法用框图表示为：．3、分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法.用框图表示分析法的思考过程、特点.得到一个明显成立的结论4、反证法：假设命题结论的反面成立，经过正确的推理，引出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这样的的证明方法叫反证法．（1）反证法的思维方法：正难则反．（2）反证法的基本步骤：①假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．（3）归缪矛盾的途径：用心爱心专心115号编辑1①与已知条件矛盾；②与已有公理、定理、定义矛盾；③自相矛盾．（4）应用反证法的情形：①直接证明困难;②需分成很多类进行讨论.③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题；④结论为“唯一”类命题；例1.已知a、b、c不相等正，且abc＝1，求证：.法1： a、b、c不相等正，且abc＝1，∴∴成立法2： a、b、c不相等正，且abc＝1∴∴成立例2.如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线交抛物线于另一点．为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点．（1）求证∠AnCnBn＝90º（2）求证点的纵坐标是一个定值，并求这个定值．（3）若构成首项为3，公比为2的等比数列，求用心爱心专心115号编辑2证明：（1）对任意固定的因为焦点F（0，1），所以可设直线的方程为将它与抛物线方程联立得，由一元二次方程根与系数的关系得……★对任意固定的利用导数知识易得抛物线在处的切线的斜率故在处的切线的方程为：，……①类似地，可求得在处的切线的方程为：，……②又故∠AnCnBn＝90º（2）又由②－①得：，……③将③代入①并注意得交点的纵坐标为-1．（3）由抛物线定义知，，，又故而由两点间的距离公式得：故故所以，＝例3.设抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为Ｆ，经过点Ｆ的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴（如图），证明直线AC经过原点Ｏ．用心爱心专心115号编辑3证明一：因为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），所以经过点F的直线的方程可设为；代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，若记A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2.因为BC∥x轴，且点c在准线x＝－上，所以点c的坐标为（－，y2），故直线CO的斜率为.即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足.则AD∥FE∥BC.连结AC，与EF相交于点N，则，根据抛物线的几何性质，，，∴，即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O.例4.已知a>5，求证：.证明：要证用心爱心专心115号编辑4只需证只需证只需证只需证因为成立.所以成立.例5.如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求证AF⊥SC．证明：要证AF⊥SC只需证：SC⊥平面AEF只需证：AE⊥SC只需证：AE⊥平面SBC只需证：AE⊥BC只需证：BC⊥平面SAB只需证：BC⊥SA只需证：SA⊥平面ABC因为：SA⊥平面ABC成立所以AF⊥SC成立例6.如图：已知l1、l2是异面直线且A、B∈l1，C、D∈l2，求证：AC，BD也是异面直线．证明：假设AC，BD是共面直线，则A，B，C，D四点在同一个平面β内，则A、B∈β，得l1β，C、D∈β，得l2β，即l1l2共面，与已知条件矛盾．例7.A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒...
