高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程课时规范训练 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

2.3.1双曲线及其标准方程基础练习1．已知点F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．直线D．一条射线【答案】D【解析】F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．2．已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是()A．B．C．D．2【答案】A【解析】由题意，知动点P的轨迹方程是x2－y2＝1(x>0)，设P(x，y)，当y＝时，x2＝，∴|PO|＝＝.故选A．3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数m的值是()A．2B．1C．D．3【答案】B【解析】∵双曲线的标准方程为－＝1，∴m＞0，焦点在x轴上．∴m＋2＝4－m2，即m2＋m－2＝0.解得m＝1，m＝－2(舍去)．∴m＝1.4．(2019年广西河池期末)焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A．x2－＝1B．－y2＝1C．y2－＝1D．－＝1【答案】A【解析】由双曲线定义知2a＝－＝5－3＝2，∴a＝1.又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3.因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.5．若双曲线－＝1(m>0，n>0)和椭圆＋＝1(a>b>0)有相同的焦点F1，F2，M为两曲线的交点，则|MF1|·|MF2|＝________.【答案】a－m【解析】利用定义求解，由双曲线、椭圆定义分别可得|MF1|－|MF2|＝±2，①|MF1|＋|MF2|＝2.②②2－①2，得4|MF1|·|MF2|＝4a－4m，∴|MF1|·|MF2|＝a－m.6．设方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．【答案】(－∞，－2)∪【解析】∵方程－＝1表示双曲线，∴(m＋2)(2m－1)＞0，解得m＜－2或m＞.∴m的取值范1围是(－∞，－2)∪.7．已知双曲线两个焦点的坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，双曲线上一点P到F1，F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由双曲线的定义得2a＝6,2c＝10，则a＝3，c＝5.∴b2＝52－32＝16.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.8．已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，－4)，，求双曲线的标准方程．解：∵双曲线的焦点在y轴上，∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．①∵点P1，P2在双曲线上，∴点P1，P2的坐标适合方程①.将(3，－4)，分别代入方程①中，得方程组解得a2＝16，b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.能力提升9．如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为()A．x2－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1【答案】A【解析】设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得B(2,0)，C(2,3)，∴解得∴双曲线的标准方程为x2－＝1.10．(2019年浙江温州模拟)若双曲线－y2＝1(n>1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为()A．B．1C．2D．4【答案】B【解析】设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2，已知|PF1|＋|PF2|＝2，解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，|PF1|·|PF2|＝2.又|F1F2|＝2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°.于是S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×2＝1.11．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．【答案】2【解析】a2＝b2＝1，c2＝a2＋b2＝2，可得|F1F2|＝2c＝2.又PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝8.∵P为双曲线x2－y2＝1上一点，∴|PF1|－|PF2|＝±2a＝±2，(|PF1|－|PF2|)2＝4.∴(|PF1|＋|PF2|)2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)－(|PF1|－|PF2|)2＝12.∴|PF1|＋|PF2|的值为2.12．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们在第一象限的交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．解：椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆在第一象限的交点为2A(，4)．(方法一)设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由得a2＝4，b2＝5(a2＝36，b2＝－27，舍去)．∴双曲线的方程为－＝1.(方法二)设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，2a＝||AF1|－|AF2||＝|－|＝4，∴a＝2，b2＝c2－a2＝5.∴双曲线的方程为－＝1.(方法三)设双曲线的方程为＋＝1，将A(，4)代入，得λ2－32λ＝0.解得λ＝32或λ＝0(舍去)．∴双曲线的方程为－＝1.3