高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.2 抛物线的简单几何性质优化练习 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学试题VIP免费

2.3.2抛物线的简单几何性质[课时作业][A组基础巩固]1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是()A．y2＝－11xB．y2＝11xC．y2＝－22xD．y2＝22x解析：在方程2x－4y＋11＝0中，令y＝0得x＝－，∴抛物线的焦点为F，即＝，∴p＝11，∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C.答案：C2．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点解析： 直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过点(1,0)．又点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部．∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．答案：C3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则kOA·kOB的值为()A．4B．－4C．p2D．－p2解析：kOA·kOB＝·＝，根据焦点弦的性质x1x2＝，y1y2＝－p2，故kOA·kOB＝＝－4.答案：B4．已知直线l：y＝k(x－2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|＝2|BF|，则k的值是()A.B.C．2D.解析：根据题意画图，如图所示，直线m为抛物线的准线，过点A作AA1⊥m，过点B作BB1⊥m，垂足分别为A1，B1，过点B作BD⊥AA1于点D，设|AF|＝2|BF|＝2r，则|AA1|＝2|BB1|＝2|A1D|＝2r，所以|AB|＝3r，|AD|＝r，则|BD|＝2r.所以k＝tan∠BAD＝＝2.选C.答案：C5．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A．2B．3C.D.1解析：设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， OA·OB＝2，∴x1x2＋y1y2＝2.又y＝x1，y＝x2，∴y1y2＝－2.联立得y2－ny－m＝0，∴y1y2＝－m＝－2，∴m＝2，即点M(2,0)．又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝|OM||y1|＋|OM||y2|＝y1－y2，S△AFO＝|OF|·|y1|＝y1，∴S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋y1＝y1＋≥2＝3，当且仅当y1＝时，等号成立．答案：B6．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．解析：将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，∴＝＝＝2.∴所求点的坐标为(3,2)．答案：(3,2)7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为.因此，点M到抛物线准线的距离为＋1＝.答案：8．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为________．解析：抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－，而点A(－2,3)在准线上，所以－＝－2，即p＝4，从而C：y2＝8x，焦点为F(2,0)．设切线方程为y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)①，由于Δ＝1－4×(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝.因为切点在第一象限，所以k＝.将k＝代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8，所以点B的坐标为(8,8)，所以直线BF的斜率为＝.答案：9．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．解析：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2.两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．① y1＋y2＝2，代入①得k＝＝3.∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，2即3x－y－11＝0.10．已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长AB＝3，(1)求m的值；(2)设P是x轴上的一点，且△ABP的面积为9，求P点的坐标．解析：(1)由⇒4x2＋4(m－1)x＋m2＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝1－m，x1·x2＝，|AB|＝·＝·＝.由|AB|＝3，即＝3⇒m＝－4.(2)设P(a,0)，P到直线AB的距离为d，则d＝＝，又S△ABP＝|AB|·d，则d＝，＝⇒|a－2|＝3⇒a＝5或a＝－1，故点P的坐标为(5,0)或(－1,0)．[B组能力提升]1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A.B.C.D.解析：设抛物线...