高二数学分类计数原理与分步计数原理【本讲主要内容】分类计数原理（加法原理）、分步计数原理（乘法原理）【知识掌握】【知识点精析】1、分类计数原理（加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。2、分步计数原理（乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法。注意：分类计数原理（加法原理）中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事。只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以。分步计数原理（乘法原理）中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏。如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理。两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数。两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”。【解题方法指导】例1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？剖析：注意区分是分类还是分步。解：（1）从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法。根据分类计数原理，不同取法的种数是4+3+2=9种。所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法。（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法。根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是种。所以，从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法。评述：解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”，还是“分步完成”。“分类完成”用“加法原理”；“分步完成”用“乘法原理”。用心爱心专心例2.在1～20共20个整数中取两个数相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种?剖析：取与取是同一种取法。分类标准为两加数的奇偶性，第一类，偶偶相加，由分步计数原理计算；第二类，奇奇相加，也由分步计数原理计算。再根据分类计数原理将两类结果相加。解：第一类，偶偶相加，由分步计数原理得（10×9）/2=45种取法，第二类，奇奇相加，也有（10×9）/2=45种取法。根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法。【考点突破】【考点指要】近几年的高考题多以选择、填空题形式出现，结合应用题将分类计数原理、分步计数原理综合起来命题，这也将是今后几年的命题走向。【典型例题分析】例1.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有。（以数字作答）分析与解：在解本题时，需要利用分类计数原理和分步计数原理，对6个部分逐个讨论：（1）先种标号为1的部分，共4种不同的种法；（2）栽种标号为2、3、5的部分，①若5与2或3同色，则对于标号为2、3、5的部分有32种不同的栽种方法，如果5与2同色，则4有1种栽种的方法，6有2种不同的栽种方法；如果5与3同色，则4有2种不同的栽种的方法，6有1种栽种方法。②若5与2和3均不同色，则对于标号为2、3、5的部分有321种不同的栽种方法，则标号为4和6的部分分别有1种不同的栽种方法。所以，共有120种不同的栽种方法。说明：本题考查了分类计数原理和分步计数原理...
