（新课标）高考数学 考点20 空间向量练习-人教版高三全册数学试题VIP免费

考点20空间向量1.（2010·广东高考理科·Ｔ１0）若向量ar=（1,1,x）,br=(1,2,1),cr=(1,1,1),满足条件()(2)cabrrr=-2,则x=.【命题立意】本题考查空间向量的坐标运算及向量的数量积运算.【思路点拨】先算出ca，2b，再由向量的数量积列出方程，从而求出.x【规范解答】ca(0,0,1)x，2(2,4,2)b，由()(2)cabrrr2，得(0,0,1)(2,4,2)2x，即2(1)2x，解得2.x【答案】22.（2010·浙江高考理科·Ｔ20）如图，在矩形ABCD中，点,EF分别在线段,ABAD上，243AEEBAFFD.沿直线EF将AEFV翻折成'AEFV，使平面'AEFBEF平面.（Ⅰ）求二面角'AFDC的余弦值.（Ⅱ）点,MN分别在线段,FDBC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与'A重合，求线段FM的长.【命题立意】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力.【思路点拨】方法一利用垂直关系建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题；方法二利用几何法解决求二面角问题和翻折问题.【规范解答】方法一：（Ⅰ）取线段EF的中点H，连结'AH，因为'AE='AF及H是EF的中点，所以'AHEF,又因为平面'AEF平面BEF.如图建立空间直角坐标系，则'A（2，2，22），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）.故FA�=（-2，2，22），FD�=（6，0，0）.设n=（x,y,z）为平面'AFD的一个法向量，所以取2z，得(0,2,2)n.又平面FDC的一个法向量(0,0,1)m，故3cos,3nmnmnm.1所以所求二面角的余弦值为33.（Ⅱ）设,FMxBNa，则(4,0,0)Mx，(,8,0)Na，因为翻折后，C与'A重合，所以'CMAM，'CNAN，所以214FM.方法二：（Ⅰ）取线段EF的中点H,AF的中点G,连结',',AGAHGH.因为'AE='AF及H是EF的中点，所以'AHEF.又因为平面'AEF平面BEF，所以'AH平面BEF,又AF平面BEF,故'AHAF.又因为G，H是AF，EF的中点，易知GH∥AB，所以GHAF，又GH∩A′H=H,于是AF平面'AGH，所以'AGH为二面角A′-FD-C的平面角，在'RtAGH中，'AH=22，GH=2，'AG=23，所以3cos'3AGH.故二面角A′-FD-C的余弦值为33.（Ⅱ）设FMx,因为翻折后，C与'A重合，所以'CMAM，而222228(6)CMDCDMx，222222'''AMAHMHAHMGGH2(22)+2(2)x+22，得214x，经检验，此时点N在线段BC上，所以214FM.【方法技巧】(1)利用向量法解决立体几何问题关键是建系，一般要找到三个互相垂直的直线建系，这种方法思路相对简单，但计算量大.(2)翻折问题要找好在翻折的过程中变化的与不变化的量，注意点、线、面等元素间位置关系的变化.3.（2010·陕西高考理科·Ｔ１8）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD2是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=22，E，F分别是AD,PC的中点.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF.（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小.【命题立意】本题考查了空间几何体的的线线、线面垂直以及二面角的求解问题，考查了考生的空间想象能力、空间思维能力以及利用空间向量解决立体几何问题的方法与技巧.【思路点拨】思路一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；思路二：利用几何法求解.【规范解答】方法一：（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. AP=AB=2，BC=22，四边形ABCD是矩形.∴A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,22,0)，D(0，22，0)，P(0,0,2)又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，2，0),F(1，2，1).∴PC�=（2，22，-2）,BF�=（-1，2，1）,EF�=（1,0,1），∴PC�·BF�=-2+4-2=0，PC�·EF�=2+0-2=0，∴PC�⊥BF�，PC�⊥EF�，∴PC⊥BF,PC⊥EF,BFEFF,∴PC⊥平面BEF,（II）由（I）知平面BEF的一个法向量1(2,22,2),nPC�平面BAP的一个法向量2(0,22,0),nAD�128,nn�设平面BEF与平面BAP的夹角为，则12121282coscos,,2422nnnnnn���∴04545°，∴平面BEF与平面BAP的夹角为45°.方法二：（I）连接PE，EC，在RtPAERtCDE，中，PA=AB=CD,AE=DE,∴PE=CE,即PEC是等腰三角形，又F是...