模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于()A.8B.10C.12D.14解析:因为S3=3a1+3×(3-1)2d=3×2+3×22d=12,所以d=2.所以a6=a1+(6-1)d=2+5×2=12.故选C.答案:C2.在△ABC中,若B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为()A.5√2B.5√3C.2√5D.3√5解析:依题意,知三角形的最大边为b.由于A=30°,根据正弦定理,得bsinB=asinA,所以b=asinBsinA=5sin135°sin30°=5√2.答案:A3.在△ABC中,若AB=√5,AC=5,且cosC=910,则BC为()A.4B.5C.4或5D.3解析:设BC=x,由余弦定理得,5=x2+25-2×5·x·910,即x2-9x+20=0,解得x=4或x=5.答案:C4.已知数列{an}满足an+1-an=2n(n∈N+),a1=3,则ann的最小值为()A.0B.2√3-1C.52D.3解析:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2(n-1)+2(n-2)+…+2×1+3=n2-n+3,所以ann=n-1+3n≥52,当且仅当n=2时取等号.故选C.答案:C5.若在△ABC中,sinB·sinC=cos2A2,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形解析:由sinB·sinC=cos2A2可得2sinB·sinC=2cos2A2=1+cosA,1即2sinB·sinC=1-cos(B+C)=1-cosBcosC+sinBsinC,所以sinBsinC+cosBcosC=1,即cos(B-C)=1,又-π0,所以原不等式⇔2x2+2mx+m<4x2+6x+3⇔2x2+(6-2m)x+(3-m)>0,x∈R恒成立⇔Δ=(6-2m)2-8(3-m)<0,解得10,y+1>0,(x+2)+(y+1)=4,则4x+2+1y+1=14[(x+2)+(y+1)]·(4x+2+1y+1)=14[5+4(y+1)x+2+x+2y+1]≥14·[5+2√4(y+1)x+2·x+2y+1]=94,当且仅当x=23,y=13时,4x+2+1y+1取最小值94.故选C.答案:C11.已知a>0,x,y满足约束条件{x≥1,x+y≤3,y≥a(x-3).若z=2x+y的最小值为1,则a=()A.14B.12C.1D.2解析:由题意作出{x≥1,x+y≤3所表示的区域如图阴影部分所示,作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线y=a(x-3)过点(1,-1),代入得a=12,所以a=12.答案:B312.导学号33194083已知数列{an}中,a1=1,a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+2k(k∈N+),则{an}的前60项的和S60=()A.231-154B.231-124C.232-94D.232-124解析:由题意,得a2=a1-1=0,a4=a3+1,a6=a5-1,…,a60=a59+1,所以S奇=S偶.又a2k-1=a2k-2+2k-1(k≥2),代入a2k=a2k-1+(-1)k,得a2k=a2k-2+2k-1+(-1)k(k≥2),所以a2=0,a4=a2+21+(-1)2,a6=a4+22+(-1)3,a8=a6+23+(-1)4,…,a2k=a2k-2+2k-1+(-1)k,所以a2k=2+22+…+2k-1+(-1)2+(-1)3+…+(-1)k=2k-2+1-(-1)k-12=2k-3+(-1)k-12,所以S偶=(2+22+23+…+229+230)-32×30=2(1-230)1-2-45=231-47,所以S60=2(231-47)=232-94.故选C.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)={x-1x,x≥2,x,x<2,若使不等式f(x)<83成立,则x的取值范围为.解析:当x≥2时,由x-1x<83化简得,3x2-8x-3<0,解得-13
