课后提升作业十九导数的几何意义(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·天津高二检测)已知曲线f(x)=x2+2x的一条切线斜率是4,则切点的横坐标为()A.-2B.-1C.1D.2【解析】选D.Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)2+2(x+Δx)-x2-2x=x·Δx+(Δx)2+2Δx,所以=x+Δx+2,所以f′(x)==x+2.设切点坐标为(x0,y0),则f′(x0)=x0+2.由已知x0+2=4,所以x0=2.2.曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线方程为()A.y=5x-1B.y=-5x+1C.y=x+1D.y=-x-1【解析】选A.k==5.f(1)=4.由点斜式得y-4=5(x-1),即y=5x-1.3.(2016·泰安高二检测)曲线y=x3-2在点处切线的倾斜角为()A.30°B.45°C.135°D.60°【解析】选B.Δy=(-1+Δx)3-×(-1)3=Δx-Δx2+(Δx)3,=1-Δx+(Δx)2,==1,所以曲线y=x3-2在点处切线的斜率是1,倾斜角为45°.4.设f(x)为可导函数且满足=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜1率为()A.2B.-1C.1D.-2【解析】选B.===f′(1)=-1.5.(2016·武汉高二检测)已知曲线y=在点P(1,4)处的切线与直线l平行且距离为,则直线l的方程为()A.4x-y+9=0B.4x-y+9=0或4x-y+25=0C.4x+y+9=0或4x+y-25=0D.以上均不对【解析】选C.y′==-4,所以k=-4,所以切线方程为y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0,设l:4x+y+c=0(c≠-8),由题意=,所以c=9或-25.6.(2016·广州高二检测)设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于()A.1B.C.-D.-1【解析】选A.因为y′|x=1===(2a+aΔx)=2a,所以2a=2,所以a=1.7.(2016·贵阳高二检测)已知函数y=f(x)的图象如图,f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A.0>f′(xA)>f′(xB)B.f′(xA)f′(xB)>0【解析】选B.f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,故f′(xA)f′(xB)B.f′(xA)=f′(xB)C.f′(xA)kB,根据导数的几何意义有:f′(xA)>f′(xB).8.已知函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,f(0))处的切线l与直线x+y+3=0垂直,若数列的前n项和为Sn,则S2011的值为()A.B.C.D.【解题指南】由条件利用函数在某一点的导数的几何意义求得b的值,根据f(n)的解析式,用裂项法求得数列的前n项和为Sn的值,可得S2011的值.【解析】选B.由题意可得A(0,0),函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,0)处的切线l的斜率k==2b,再根据l与直线x+y+3=0垂直,可得2b·(-1)=1,所以b=-.因为f(n)=n2+2bn=n2-n=n(n-1),所以=-,故数列的前n项和为Sn=0++++…+=1-,所以S2011=1-=.二、填空题(每小题5分,共10分)9.设函数y=f(x),f′(x0)>0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的倾斜角的范围是.【解析】由于f′(x0)>0,说明y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率大于0,故倾斜角为锐角.3答案:【规律总结】f′(x0)>0时,切线的倾斜角为锐角;f′(x0)<0时,切线的倾斜角为钝角;f′(x0)=0时,切线与x轴平行.f(x)在x0处的导数不存在,则切线垂直于x轴或不存在.10.(2016·兴义高二检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),f′(0)>0,对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为.【解题指南】由导数的定义,先求出f′(0)的值,从而求出的表达式,再利用“对于任意实数x,有f(x)≥0”这一条件,借助不等式的知识即可求解.【解析】由导数的定义,得f′(0)===[a·(Δx)+b]=b.又因为对于任意实数x,有f(x)≥0,则所以ac≥,所以c>0.所以=≥≥=2.答案:2三、解答题11.(10分)已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程.(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.【解析】(1)y′===(2x+Δx+1)=2x+1.y′|x=1=2×1+1=3,所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.因为l1⊥l2,则有2b+1=-,b=-.所以直线l2的方程为y=-x-.4(2)解方程组得所以直线l1和l2的交点坐标为.l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),.所以所求三角形的面积S=××=.【补偿训练】1.(2016·厦门高二检测)试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.【解析】===3xΔx+3x2+Δx2.=3x2,因此y′=3x2,设过(1,1)...
