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高考数学总复习:定积分与微积分基本定理VIP免费

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高考数学总复习:定积分与微积分基本定理知识网络目标认知考试大纲要求:了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念及其基本定理。重点:正确计算定积分,利用定积分求面积。难点:正确计算定积分,利用定积分求面积。知识要点梳理知识点一:定积分的概念定积分的定义:如果函数在区间上连续,用分点将区间等分成个小区间,在每个小区间上任取一点,作和式,当时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数在区间上的定积分.记作,即=,这里,与分别叫做积分下限与积分上限,区间叫做积分区间,函数叫做被积函数,叫做积分变量,叫做被积式.说明:(1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零;(2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;②近似代替;③求和;④取极限.知识点二:定积分的性质(1)(为常数),(2),(3)(其中),(4)利用函数的奇偶性求积分:若函数在区间上是奇函数,则;若函数在区间上是偶函数,则.知识点三:微积分基本定理如果,且在上连续,则,其中叫做的一个原函数.由于也是的原函数,其中c为常数.一般地,原函数在上的改变量简记作.因此,微积分基本定理可以写成形式:.说明:求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数.由此,求导运算与求原函数运算互为逆运算.知识点四:定积分的几何意义设函数在区间上连续.在上,当时,定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积;如图(1)所示.在上,当时,由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方,定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;在上,当既取正值又取负值时,定积分的几何意义是曲线,两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和.在轴上方的面积积分时取正号,在轴下方的面积积分时,取负号.如图(2)所示.知识点五:应用(一)应用定积分求曲边梯形的面积1.如图,由三条直线,,轴(即直线)及一条曲线()围成的曲边梯形的面积:;2.如图,由三条直线,,轴(即直线)及一条曲线()围成的曲边梯形的面积:;3.如图,由曲线及直线,围成图形的面积公式为:.4.利用定积分求平面图形面积的步骤:(1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像;(2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限;(3)写出定积分表达式;(4)求出平面图形的面积.(二)利用定积分解决物理问题①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程,等于其速度函数在时间区间上的定积分,即.②变力作功物体在变力的作用下做直线运动,并且物体沿着与相同的方向从移动到,那么变力所作的功.规律方法指导1.要正确理解定积分的概念,掌握其几何意义,从而解决实际问题;2.要正确计算定积分,需非常熟悉导数的运算。

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