课时达标检测(二十五）向量的概念及线性运算[练基础小题——强化运算能力]1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝________.(用一个向量表示)解析：EB＋FC＝(AB＋CB)＋(AC＋BC)＝(AB＋AC)＝AD.答案：AD2．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.解析： λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得答案：3．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是________．解析：由已知得，AD＝AB＋BC＋CD＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC，故AD∥BC.又因为AB与CD不平行，所以四边形ABCD是梯形．答案：梯形4．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝________.解析：由MA＋MB＋MC＝0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则AM＝AD＝×(AB＋AC)＝(AB＋AC)，所以AB＋AC＝3AM，故m＝3.答案：3[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．设M是△ABC所在平面上的一点，且MB＋MA＋MC＝0，D是AC的中点，则的值为________．解析： D是AC的中点，如图，延长MD至E，使得DE＝MD，∴四边形MAEC为平行四边形，∴MD＝ME＝(MA＋MC)，∴MA＋MC＝2MD. MB＋MA＋MC＝0，∴MB＝－(MA＋MC)＝－3MD，∴BM＝3MD，∴＝＝.答案：2．在△ABC中，BD＝3DC，若AD＝λ1AB＋λ2AC，则λ1λ2的值为________．解析：由题意得，AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，∴λ1＝，λ2＝，∴λ1λ2＝.答案：3．设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△AOB与△AOC的面积之比为________．解析：设D为AC的中点，连结OD，则OA＋OC＝2OD.又OA＋OC＝－2OB，所以OD＝－OB，即O为BD的中点，从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为.答案：4．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△ABC的内角A等于________．解析：由OA＋OB＋CO＝0，得OA＋OB＝OC，由O为△ABC外接圆的圆心，可得|OA|＝|OB|＝|OC|.设OC与AB交于点D，如图，由OA＋OB＝OC可知D为AB的中点，所以OC＝2OD，D为OC的中点．又由|OA|＝|OB|可知OD⊥AB，即OC⊥AB，所以四边形OACB为菱形，所以△OAC为等边三角形，即∠CAO＝60°，故A＝30°.答案：30°5．已知点G是△ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AM＝xAB，AN＝yAC，则的值为________．解析：由已知得M，G，N三点共线，所以AG＝λAM＋(1－λ)AN＝λxAB＋(1－λ)yAC. 点G是△ABC的重心，∴AG＝×(AB＋AC)＝(AB＋AC)，∴即得＋＝1，即＋＝3，通分得＝3，∴＝.答案：6．(2018·如皋中学期末)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积的比值为________．解析：设AB的中点为D，如图，连结MD，MC，由5AM＝AB＋3AC，得5AM＝2AD＋3AC①，即AM＝AD＋AC，即＋＝1，故C，M，D三点共线，又AM＝AD＋DM②，①②联立，得5DM＝3DC，即在△ABM与△ABC中，边AB上的高的比值为，所以△ABM与△ABC的面积的比值为.答案：7．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列命题：①AD＝a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF＝0.其中正确命题的个数为________．解析：由BC＝a，CA＝b可得AD＝CB＋AC＝－a－b，BE＝BC＋CA＝a＋b，CF＝(CB＋CA)＝(－a＋b)＝－a＋b，AD＋BE＋CF＝－a－b＋a＋b－a＋b＝0，所以①错，②③④正确．所以正确命题的个数为3.答案：38．若|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，则|AB＋AC|＝________.解析： |AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，∴△ABC是边长为2的正三角形，∴|AB＋AC|为△ABC的边BC上的高的2倍，∴|AB＋AC|＝2×2sin＝2.答案：29．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．解析：因为OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，所以|AB＋AC|＝|AB－AC|，即AB·AC＝0，故AB⊥AC，△ABC为直角三角形．答案：直角三角形10．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，所以AB＝2DC. 点E...
