高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程综合提升案 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学试题VIP免费

2-2-1双曲线及其标准方程综合提升案·核心素养达成[限时40分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知定点A、B，且|AB|＝2，动点P满足|PA|－|PB|＝1，则点P的轨迹为A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线解析由于点P满足到两定点距离之差为常数(常数小于|AB|)，因此点P的轨迹是双曲线的一支．答案B2．(2018·浙江)双曲线－y2＝1的焦点坐标是A．(－，0)，(，0)B．(－2，0)，(2，0)C．(0，－)，(0，)D．(0，－2)，(0，2)解析由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．故选B.答案B3．设动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是A.－＝1B.－＝1C.－＝1(x≤－3)D.－＝1(x≥3)解析由双曲线的定义知点P的轨迹为双曲线的一支．由题意c＝5，a＝3，∴b＝4.∴点P的轨迹方程是－＝1(x≥3)．答案D4．k＞1，关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在x轴上的双曲线解析原方程可化为－＝1.∵k＞1，∴k2－1＞0，1＋k＞0.∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．答案C5．焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为A．x2－＝1B.－y2＝1C．y2－＝1D.－＝1解析由双曲线定义知，2a＝－＝5－3＝2，∴a＝1.又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.答案A6．过双曲线－＝1的左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2(F2为右焦点)的周长是A．20B．25C．28D．30解析∵a2＝16，a＝4，|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝6，|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝8，∴△ABF2的周长＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|1＝(8＋|AF1|)＋(8＋|BF1|)＋|AB|＝16＋2|AB|＝28.故选C.答案C二、填空题(每小题5分，共15分)7．设m是常数，若点F(0，5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________．解析由点F(0，5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.答案168．在双曲线中，＝，且双曲线与椭圆4x2＋9y2＝36有公共焦点，则双曲线的标准方程是_____________________________________________________．解析椭圆方程可化为＋＝1，c2＝9－4＝5，c＝且焦点在x轴上．由题意知，所求双曲线焦点在x轴上，且c＝，＝.∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝5－4＝1.∴双曲线方程为－y2＝1.答案－y2＝19．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析如图，过点M作MA⊥x轴于点A.∵－＝1，∴当x＝3时，y＝±.又∵F2(4，0)，∴|AF2|＝1，|MA|＝，∴|MF2|＝＝4.答案4三、解答题(共35分)10．(15分)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点是(0，－6)，经过点A(－5，6)；(2)a＝5，c＝7；(3)以椭圆＋＝1的长轴端点为焦点，且经过点P.解析(1)由题设可知c＝6，且焦点在y轴上，另一焦点坐标是(0，6)．因为点A(－5，6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即2a＝|－|＝|13－5|＝8，得a＝4，则b2＝c2－a2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是－＝1.(2)由题设知a＝5，c＝7，则b2＝c2－a2＝24.故所求双曲线的标准方程是－＝1或－＝1.(3)因为椭圆＋＝1的长轴端点为A1(－5，0)，A2(5，0)，所以所求双曲线的焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)．由双曲线的定义知，||PF1|－|PF2||＝2＝＝8，即2a＝8，则a＝4.又c＝5，所以b2＝c2－a2＝9，故所求双曲线的标准方程为－＝1.11．(10分)如图，已知双曲线中c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P是双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△F1PF2＝12.求双曲线的标准方程．解析由题意可设双曲线的标准方程为－＝1.由于||PF1|－|PF2||＝2a，在△F1PF2中，由余弦定理得cos60°＝＝，所以|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2，所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝2b2·＝b2，从而有b2＝12，所以b2＝12.又c＝2a，结合c2＝a2＋b2，得a2＝4.所以双曲线的标准方程为－＝1.12．(10分)双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离．解析设P点为(x0，y0)，而F1(－5，0)，F2(5，0)，则PF1＝(－5－x0，－y0)，PF2＝(5－x0，－y0)．因为PF1⊥PF2，所以PF1·PF2＝0，即(－5－x0)(5－x0)＋(－y0)·(－y0)＝0，整理，得x＋y＝25.①又因为P(x0，y0)在双曲线上，所以－＝1.②联立①②，得y＝，即|y0|＝.因此点P到x轴的距离为.3