课时分层作业(二十六)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝()A．－1B．1C．0D．－2A[ p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋1×(－1)＝－1.]2．已知a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为()A．－6B．2C．6D．8C[a⊥b⇒(1,5，－2)·(m,2，m＋2)＝0⇒m＋10－2m－4＝0⇒m＝6.]3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°C[ (2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0，即2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝0，而|a|＝|b|，∴2cos〈a，b〉＋1＝0，∴cos〈a，b〉＝－.又〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°，选C.]二、填空题4．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________.[解析]a·b＝2×3×cos60°＝3，∴|2a－3b|＝＝＝.[答案]5.如图，120°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．[解析] AC⊥AB，BD⊥AB，∴AC·AB＝0，BD·AB＝0.又 二面角为120°，∴〈CA，BD〉＝60°，∴CD2＝|CD|2＝(CA＋AB＋BD)2＝CA2＋AB2＋BD2＋2(CA·AB＋CA·BD＋AB·BD)＝164，∴|CD|＝2.[答案]26．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD，则异面直线BF与ED所成角的大小是________．[解析]分别以AB，AD，AF为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1，1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M.则BF＝(－1,0,1)，ED＝(0,1，－1)，1∴cos〈BF，ED〉＝＝＝－，∴〈BF，ED〉＝120°.所以异面直线BF与ED所成角的大小为180°－120°＝60°.[答案]60°7.如图所示，已知直线AB⊥平面α，BC⊂α，BC⊥CD，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，则A，D两点间的距离为________．[解析] AD＝AB＋BC＋CD，∠DCF＝30°，DF⊥平面α，∴∠CDF＝60°，∴|AD|2＝(AB＋BC＋CD)2＝4＋4＋4＋2×2×2×cos120°＝8，∴|AD|＝2.[答案]28．若AB＝(－4,6，－1)，AC＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥AB，a⊥AC，则a＝________.[解析]设a＝(x，y，z)，由题意有代入坐标可解得：或[答案]或三、解答题9.如图，已知正方体ABCDA′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，求证：(1)AO⊥CD′；(2)AC′⊥平面B′CD′.[证明]设正方体的棱长为1，取A点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B′(1,0,1)，C(1,1,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，O，则AO＝，CD′＝(－1,0,1)，AC′＝(1,1,1)，B′C＝(0,1，－1)，B′D′＝(－1,1,0)．(1) AO·CD′＝×(－1)＋1×0＋×1＝0，∴AO⊥CD′.(2) AC′·B′C＝1×0＋1×1＋1×(－1)＝0，AC′·B′D′＝1×(－1)＋1×1＋1×0＝0.∴AC′⊥B′C，AC′⊥B′D′.又 B′C∩B′D′＝B′，B′C⊂平面B′CD′，B′D′⊂平面B′CD′，∴AC′⊥平面B′CD′.10.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点．若AB＝a，SD＝b，(1)求|EF|；(2)求cos〈AG，BC〉．2[解]如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，S(0,0，b)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，F，G，EF＝，AG＝，BC＝(－a,0,0)．(1)|EF|＝＝.(2)cos〈AG，BC〉＝＝＝.[能力提升练]1．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°C[a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－，〈a，c〉＝120°.]2．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以AB，AC为边的平行四边形的面积为________．[解析]由题意可得，AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3，2)，∴cos〈AB，AC〉＝＝＝＝.∴sin〈AB，AC〉＝，∴以AB，AC为边的平行四边形的面积S＝2×|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉＝14×＝7.[答案]73．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于________．[解析]法一：...
