高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 第1课时 综合法优化练习 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP免费

2.2.1第1课时综合法[课时作业][A组基础巩固]1．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是()A．sin(α＋β)＞sinα＋sinβB．sin(α＋β)＞cosα＋cosβC．cos(α＋β)＞sinα＋sinβD．cos(α＋β)＜cosα＋cosβ解析：∵α、β为锐角，∴0＜α＜α＋β＜π，∴cosα＞cos(α＋β)，又cosβ＞0，∴cosα＋cosβ＞cos(α＋β)．答案：D2．在不等边三角形中，a为最长边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足条件()A．a2＜b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2＞b2＋c2D．a2≤b2＋c2解析：由余弦定理得：cosA＝＜0，故b2＋c2－a2＜0，∴a2＞b2＋c2.答案：C3．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a≤b解析：a＝lg2＋lg5＝1，b＝ex，当x＜0时，0＜b＜1.∴a＞b.答案：A4．四面体ABCD中，棱AB、AC、AD两两垂直，则点A在底面BCD内的射影一定是△BCD的()A．内心B．外心C．重心D．垂心解析：如图，设点O是点A在底面BCD内的射影，并连接AO，则AO⊥面BCD.连接BO并延长交CD于点E.由已知易得AB⊥CD.又∵AO⊥面BCD，∴AO⊥CD.∴CD⊥面AOB，∴CD⊥BE.∴O在CD的高线上，同理O在BC，BD的高线上．答案：D5．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数()A．成等比数列而非等差数列B．成等差数列而非等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列1解析：由已知条件，可得由②③得代入①，得＋＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2，b2，y2成等差数列．又由①得b2＝>ac＝·所以b4>x2·y2，故x2，b2，y2不成等比数列．答案：B6．设e1、e2是两个不共线的向量，AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，若A、B、C三点共线，则k＝________.解析：∵A、B、C三点共线，∴存在λ使AB＝λCB，即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)．∴λ＝2，k＝6.答案：67．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0.则cos(α－β)＝________.解析：∵sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，∴，两式平方相加得：2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1，∴cos(α－β)＝－.答案：－8．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．解析：∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2＋ab－1－a－b－ab＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0，∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．答案：≤9．已知a，b＞0，且a＋b＝1，求证：＋≥4.证明：∵a，b＞0，且a＋b＝1.∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．10．已知，，成等差数列，求证，，也成等差数列．证明：因为，，成等差数列，所以＋＝.即＝，所以b(a＋c)＝2ac，所以＋＝＝＝＝＝＝＝，所以，，也成等差数列．2[B组能力提升]1．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为()A．p≥qB．p≤qC．p＞qD．不确定解析：q＝≥＝＋＝p.答案：B2．(2014·高考山东卷)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()A．x±y＝0B.x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0解析：椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，所以a4－b4＝a4，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.答案：A3．如果不等式|x－a|＜1成立的充分非必要条件是＜x＜，则实数a的取值范围是________．解析：|x－a|＜1⇔a－1＜x＜a＋1，由题意知(，)(a－1，a＋1)，则有，(且等号不同时成立)解得≤a≤.答案：≤a≤4.如图，在三棱锥VABC中，M、N分别是侧面VAC和侧面VBC的重心．求证：MN∥底面ABC.证明：如图，连接VM、VN并延长，分别交AC、BC于P、Q两点，连接PQ.由已知可知，M、N分别是侧面VAC和侧面VBC的重心．在△VPQ中，＝，＝，所以＝，所以MN∥PQ.因为MN⊄底面ABC，PQ⊂底面ABC，所以MN∥底面ABC.5．若实数x，y，m满足|x－m|<|y－m|，则称x比y接近m.(1)若x2－1比3接近0，求x的取值范围．(2)对任意两个不相等的正数a，b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.解析：(1)由题意得|x2－1|<3.即－30.又a2b＋ab2＝ab(a＋b)>2ab，所以a3＋b3>a2b＋ab2>2ab>0，所以a3＋b3－2ab>a2b＋ab2－2ab>0，所以|a2b＋ab2－2ab|<|a3＋b3－2ab|，所以a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.4