（江苏专用）高考数学大一轮复习 第九章 第51课 直线与平面的垂直要点导学-人教版高三全册数学试题VIP免费

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第九章第51课直线与平面的垂直要点导学要点导学各个击破直线与平面垂直的判定(2014·浙江卷)如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=2.求证:DE⊥平面ACD.(例1)[思维引导]要证DE⊥平面ACD,可以首先证DE⊥AC与DE⊥DC,然后利用线面垂直的判定定理证明,注意“线不在多,在于相交”.[证明]因为∠CDE=∠BED=90°,所以BE∥CD,又因为BC≠DE,所以四边形BCDE是直角梯形,所以BD=BC=2.由AC=2,AB=2,得AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC.又因为平面ABC⊥平面BCDE,从而AC⊥平面BCDE,所以AC⊥DE.又因为DE⊥DC,AC∩DC=C,所以DE⊥平面ACD.如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.求证:BC⊥平面PAC.(变式)[证明]由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,1所以BC⊥平面PAC.直线与平面垂直性质的应用如图,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB∶BC=1∶2,O,F分别为CD,BC的中点,且EO⊥平面ABCD.求证:AF⊥EF.(例2)[思维引导]在边长之比为1∶2的矩形ABCD中,要会寻求垂直关系.[证明]连接OF,AO,设AB=2a,则BC=22a.因为四边形ABCD为矩形,所以AO=22ADOD=3a.同理AF=6a,OF=3a.因为AF2+OF2=9a2=AO2,所以△AFO为直角三角形,所以AF⊥OF.因为EO⊥平面ABCD,所以EO⊥AF.因为OF∩OE=O,所以AF⊥平面OEF,所以AF⊥EF.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD,∠ACB=∠ACD,求证:BD⊥平面PAC.(变式)[证明]因为BC=CD,即△BCD为等腰三角形,又因为∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD,BD平面ABCD,所以PA⊥BD.因为PA∩AC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,2所以BD⊥平面PAC.【题组强化·重点突破】1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.(第1题)[证明]因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=3AD,从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD.因为PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD.又AD∩PD=D,AD平面PAD,PD平面PAD,所以BD⊥平面PAD.又PA平面PAD,故PA⊥BD.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点.求证:MN⊥AB.(第2题)[证明]取CD的中点R,连接RN,RM.因为PA⊥平面ABCD,所以BA⊥PA.又BA⊥AD,AD∩PA=A,所以BA⊥平面PAD,所以BA⊥PD.因为N,R分别为CP,CD的中点,所以NR∥PD,所以BA⊥NR.又AB⊥MR,MR∩NR=R,所以AB⊥平面MNR,所以MN⊥AB.33.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA⊥底面ABCD.E,F分别是AB,PC的中点,PA=AD.(第3题)(1)求证:CD⊥PD;(2)求证:EF⊥平面PCD.[证明](1)因为PA⊥底面ABCD,所以CD⊥PA.在矩形ABCD中,CD⊥AD,又AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD.(2)取PD的中点G,连接AG,FG.因为G,F分别是PD,PC的中点,所以GF∥CD且GF=12CD,所以GFAE,所以四边形AEFG是平行四边形,所以AG∥EF.因为PA=AD,G是PD的中点,所以AG⊥PD,所以EF⊥PD.因为CD⊥平面PAD,AG平面PAD,所以CD⊥AG,所以EF⊥CD.因为PD∩CD=D,所以EF⊥平面PCD.直线与平面垂直的探索问题如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若G满足PC⊥平面BGD,求PGGC的值.4(例3)[思维引导](1)易证BD⊥PA,要借助∠ABD=60°与∠BAC=30°,说明BD⊥AC,即位置关系的判定要借助数量的运算关系.(2)要求PGGC的值,即先分别求得PG,GC的值,这要借助勾股关系与方程思想.[解答](1)由AB=CB,AD=CD,BD=DB得△ABD≌△CBD,所以∠ABD=∠CBD=60°且∠BAC=30°,所以BD⊥AC.又因为PA⊥平面ABCD,BD平面ABCD,所以BD⊥PA.因为AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC.(2)由已知得PC=22PAAC=312=15,因为PC⊥平面BGD,GD平面BGD,所以PC⊥GD.在△PDC中,PD=37=10,CD=7,PC=15.设PG=x,则CG=15-x,所以10-x2=7-2(15-)x,解得x=3155,所以GC=2155,所以PGGC=32.[精要点评]除常规的线面位置关系的判定与证明外,借助数量的运算关系来确定位置关系的题目也要适当了解与关注.数量运算主要还是体现在垂直上,即有勾股关系的适当介入.(2014·南安模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别是PC,PD,BC...