第一讲第二节第三课时直线的极坐标方程一、选择题(每小题5分，共20分)1．直线x－y＝0的极坐标方程(限定ρ≥0)是()A．θ＝B．θ＝πC．θ＝和θ＝πD．θ＝π解析：由x－y＝0，得ρcosθ－ρsinθ＝0，即tanθ＝，∴θ＝和θ＝π，又ρ≥0，因此直线的方程可以用θ＝和θ＝π表示．答案：C2．在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程为()A．ρcosθ＝B．ρsinθ＝C．ρ＝cosθD．ρ＝sinθ解析：如图所示，设M(ρ，θ)是所求直线上任一点，在Rt△AQO中，由已知得|OQ|＝3cos＝.在Rt△MQO中，得ρcosθ＝.即为所求直线的极坐标方程．答案：A3．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin(ρ∈R)关于()A．直线θ＝成轴对称B．直线θ＝成轴对称C．点成中心对称D．极点成中心对称解析：将原方程变形为ρ＝4cos，即ρ＝4cos，该方程表示以为圆心，以2为半径的圆，所以曲线关于直线θ＝成轴对称．答案：B4．直线θ＝和直线θ＝的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不能确定解析：由图象知，两直线垂直．答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在极坐标系中，点A到直线ρsinθ＝－2的距离是__________________.解析：点A化为直角坐标为，直线为y＝－2，则点A到直线的距离为2＋.答案：2＋6．两条直线ρcos＝2和tanθ＝1的夹角为__________________.解析：将极坐标方程化为直角坐标方程：由ρcos＝2得(ρcosθ＋ρsinθ)＝2，即x＋y＝2；由tanθ＝1，即θ＝或θ＝，即直线y＝x.由于直线y＝x与x＋y＝2互相垂直，故夹角为90°.1答案：90°三、解答题(每小题10分，共20分)7．求过点A(5,0)和直线θ＝垂直的直线的极坐标方程．解析：如图，设M(ρ，θ)为所求直线上任一点，则在△AOM中，∠OAM＝，|OM|＝ρ，∠OMA＝π－－θ.|OA|＝5，在△AOM中由正弦定理得：＝，整理得：ρsin＝，即为所求直线的极坐标方程．8.从极点引直线与已知直线l：ρcos(θ－α)＝a交于一点Q，P点内分OQ成的比．当Q点在直线l上移动时，求点P的轨迹方程．解析：设Q点的坐标为(ρ1，θ1)，P点的坐标为(ρ，θ)．设点P内分OQ所成的比＝λ，则∴代入点Q所在直线的极坐标方程ρ1cos(θ1－α)＝a得ρcos(θ－α)＝a，∴ρcos(θ－α)＝a，这就是点P的轨迹方程．☆☆☆9．(10分)如图所示，点A在直线x＝4上移动，△OPA为等腰直角三角形，△OPA的顶角为∠OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状．解析：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x＝4的极坐标方程为ρcosθ＝4，设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，∵点A在直线ρcosθ＝4上，∴ρ0cosθ0＝4.①∵△OPA为等腰直角三角形，且∠OPA＝，而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0，以及∠POA＝，∴ρ0＝ρ，且θ0＝θ－.②把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为ρcos＝4.由ρcos＝4，得ρ(cosθ＋sinθ)＝4，∴点P的轨迹的普通方程为x＋y＝4，是过点(4,0)且倾斜角为的直线．2
