2016-2017学年高中数学第1讲坐标系1平面直角坐标系课后练习新人教A版选修4-4一、选择题(每小题5分，共20分)1．点P(2,3)关于y轴的对称点是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(2，－3)D．(－2，－3)解析：点(x，y)关于y轴的对称点坐标为(－x，y)．所以点(2,3)关于y轴的对称点坐标是(－2,3)．答案：B2．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝1，则曲线C的方程为()A．50x2＋72y2＝1B．9x2＋100y2＝1C．10x2＋24y2＝1D．x2＋y2＝1解析：将坐标直接代入新方程，即可得原来的曲线方程．将直接代入2x′2＋8y′2＝1，得2·(5x)2＋8(3y)2＝1，则50x2＋72y2＝1即为所求曲线C的方程．答案：A3．将曲线C按伸缩变换公式变换得曲线方程为x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．4x2＋9y2＝36D．4x2＋9y2＝1解析：将x′＝2x，y′＝3y代入方程x′2＋y′2＝1得(2x)2＋(3y)2＝1，即4x2＋9y2＝1.故选D．答案：D4．将曲线F(x，y)＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的，得到的曲线方程为()A．F＝0B．F＝0C．F＝0D．F＝0解析：由横坐标伸长到原来的2倍知x′＝，纵坐标缩短到原来的知y′＝3y.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．在伸缩变换φ：作用下，点P(1，－2)变换为P′的坐标为________．解析：根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式，∵x＝1，y＝－2，∴x′＝2x＝2，y′＝y＝－1，所以P′(2，－1)．答案：(2，－1)6．将对数曲线y＝log3x的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为________．解析：设P(x，y)为对数曲线y＝log3x上任意一点，变换后的对应点为P′(x′，y′)，由题意知伸缩变换为1∴代入y＝log3x，得y′＝log3x′，即y＝log3.答案：y＝log3三、解答题(每小题10分，共20分)7．台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于危险区内的时间为多少？解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，点B到直线y＝x的距离d＝＝20.求得|MN|＝2＝20(km)，故＝1，所以城市B处于危险区的时间为1h.8．已知矩形ABCD，对于矩形所在的平面内任意一点M，求证：AM2＋CM2＝BM2＋DM2.解析：以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立如下图所示平面直角坐标系xOy，则A(0,0)．设B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)，M(x，y)则AM2＋CM2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2＝2(x2＋y2)＋(a2＋b2)－2(ax＋by)，BM2＋DM2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2＝2(x2＋y2)＋(a2＋b2)－2(ax＋by)，∴AM2＋CM2＝BM2＋DM2.9．(10分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图所示，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)．观测点A(4,0)，B(6,0)．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，问航天器离观测点A，B分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？解析：(1)设曲线方程为y＝ax2＋，∵点D(8,0)在抛物线上，∴a＝－，∴曲线方程为y＝－x2＋.(2)设变轨点为C(x，y)，根据题意可知得4y2－7y－36＝0.y＝4或y＝－(舍去)，2∴y＝4.得x＝6或x＝－6(舍去)．∴C点的坐标为(6,4)，|AC|＝2，|BC|＝4，所以当航天器离观测点A，B的距离分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令．3
