课时跟踪训练(十一)双曲线的几何性质1．(陕西高考)双曲线－＝1的离心率为.则m＝________.2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．3．焦点为(0,6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是___________．4．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为____________________．5．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线离心率e的取值范围是________．6．根据下列条件求双曲线的标准方程：(1)经过点(，3)，且一条渐近线方程为4x＋3y＝0.(2)P(0,6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.7．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．8．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点(4，－)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)求△F1MF2的面积．答案1．解析：∵a＝4，b＝，∴c2＝16＋m，e＝＝＝，∴m＝9.答案：92．解析：根据题意，由于双曲线－＝1(a>0，b>0)，两条渐近线的夹角为60°，则可知＝或＝，那么可知双曲线的离心率为e＝，所以结果为2或.答案：2或3．解析：由－y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±x.设双曲线方程为：－y2＝λ(λ<0)，∴1－＝1.∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12.故双曲线方程为－＝1.答案：－＝14．解析：∵e2＝＝＝1＋＝，∴＝，∴＝，∴y＝±x.答案：y＝±x5．解析：依题意得由此解得|PF2|＝a，|PF1|＝3a，∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即c≤2a，e＝≤2.又e>1，∴离心率e的取值范围是(1,2]．答案：(1,2]6．解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，∴可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．∵双曲线经过点，∴×－＝λ.即λ＝1.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x轴上，∵PF1⊥PF2，且OP＝6，∴2c＝F1F2＝2OP＝12，∴c＝6.又P与两顶点连线夹角为，∴a＝|OP|·tan＝2，∴b2＝c2－a2＝24.故所求双曲线的标准方程为－＝1.7．解：设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±.由PF2＝QF2，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，∴＝2c，∴b2＝2ac.由a2＋b2＝c2，得c2－2ac－a2＝0，∴2－2×－1＝0.即e2－2e－1＝0.∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．所以所求双曲线的离心率为1＋.8．解：(1)∵离心率e＝，∴设所求双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－)在双曲线上，知λ＝42－(－)2＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6，即－＝1.(2)若点M(3，m)在双曲线上，则32－m2＝6，∴m2＝3.由双曲线x2－y2＝6知，F1(2，0)，F2(－2，0)，∴MF1―→·MF2―→＝(2－3，－m)·(－2－3，－m)＝9－(2)2＋m2＝0.∴MF1―→⊥MF2―→，∴点M在以F1F2为直径的圆上．(3)S△F1MF2＝×2c×|m|＝c|m|＝2×＝6.23
