一、平面直角坐标系A级基础巩固一、选择题1．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2，2)的距离，则点P的轨迹是()A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：因为M(2，2)在直线x＋y－4＝0上，所以点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线．答案：A2．将点P(－2，2)变换为P′(－6，1)的伸缩变换公式为()A.B.C.D.解析：设伸缩变换为则解得所以答案：C3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π解析：设P点的坐标为(x，y)，因为|PA|＝2|PB|，所以(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4.故点P的轨迹是以(2，0)为圆心、2为半径的圆，它的面积为4π.答案：B4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos2x按伸缩变换后为()A．y′＝cosx′B．y′＝3cosx′C．y′＝2cosx′D．y′＝cos3x′解析：由得代入y＝cos2x，得＝cosx′，所以y′＝cosx′.答案：A5．在同一坐标系下，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线＋＝1，则曲线C的方程为()A．2x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1C．x＋y＝1D．4x＋3y＝1解析：将代入曲线＋＝1.得x2＋y2＝1.所以曲线C的方程为x2＋y2＝1.答案：B二、填空题6．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点(－1，0)的距离是到点(1，0)的距离的倍，则动点P的轨迹方程是________________．解析：设P(x，y)，则＝，即x2＋2x＋1＋y2＝2(x2－2x＋1＋y2)，1整理得x2＋y2－6x＋1＝0.答案：x2＋y2－6x＋1＝07．若点P(－2016，2017)经过伸缩变换后的点在曲线x′y′＝k上，则k＝________．解析：因为P(－2016，2017)经过伸缩变换得代入x′y′＝k，得k＝－1.答案：－18．在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，则满足条件的伸缩变换是________．解析：x2－36y2－8x＋12＝0可化为－9y2＝1.①x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.②比较①②，可得即答案：三、解答题9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)．则M点的坐标为.由于|BC|＝，|AM|＝＝，故|AM|＝|BC|.10．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线＋4y′2＝1，求曲线C的方程并画出图形．解：设M(x，y)是曲线C上任意一点，变换后的点为M′(x′，y′)．由且M′(x′，y′)在曲线＋4y′2＝1上，得＋＝1，所以x2＋y2＝4.因此曲线C的方程为x2＋y2＝4，表示以O(0，0)为圆心、2为半径的圆(图略)．B级能力提升1．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝2，则曲线C的方程为()A．25x2＋36y2＝1B．9x2＋100y2＝1C．10x＋24y＝1D.x2＋y2＝1解析：将代入2x′2＋8y′2＝2中，2得50x2＋72y2＝2，即25x2＋36y2＝1.答案：A2．在平面直角坐标系中，动点P和点M(－2，0)，N(2，0)满足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为__________________．解析：设P(x，y)，由题意可知MN＝(4，0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y)，由|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，可知4＋4(x－2)＝0，化简，得y2＝－8x.答案：y2＝－8x3．已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地听到晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸的轨迹方程．解：由声速及在A地听到的炮弹声比在B地晚2s，可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m，所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的在靠近B处的双曲线一支上．以AB所在的直线为x轴，以线段AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy，设爆炸点P的坐标为(x，y)，则|PA|－|PB|＝340×2＝680，所以2a＝680，a＝340，因为|AB|＝800，所以2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝44400，因为800>|PA|－|PB|＝680>0，所以x>0，因此炮弹爆炸点的轨迹方程为－＝1(x>0)．3
