第三章数系的扩充与复数的引入阶段通关训练(60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2017·北京高考)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)【解析】选B.(1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=a+1+(1-a)i,因为该复数对应的点在第二象限,所以所以a<-1.【答题技巧】利用复数的几何意义求字母范围的技巧,先运算出复数的代数形式,再利用复数所在的象限,判断实部与虚部的范围.2.设复数z=,则复数z的虚部是()A.B.-1C.-iD.1【解析】选B.z====-i,虚部是-1.3.(2017·长春高二检测)复数z满足z=+i,则|z|=()A.B.2C.D.【解析】选A.因为z=+i=+i=-(2+i)i+i=1-i,所以|z|==.4.设z是复数,则下列命题中的假命题是()A.若z2≥0,则z是实数B.若z2<0,则z是虚数C.若z是虚数,则z2≥0D.若z是纯虚数,则z2<01【解题指南】设出复数的代数形式,复数问题转化为代数式求解,进行验证,从而得出正确的答案.【解析】选C.设z=a+bi,a,b∈R⇒z2=a2-b2+2abi.对选项A:若z2≥0,则b=0⇒z为实数,所以z为实数正确.对选项B:若z2<0,则a=0,且b≠0⇒z为纯虚数,所以z为虚数正确.对选项C:若z为虚数,则z2不一定为实数,所以z2≥0错误.对选项D:若z为纯虚数,则a=0,且b≠0⇒z2<0,所以z2<0正确.5.(2017·贵港高二检测)定义运算=ad-bc,则符合条件=4+2i的复数z为()A.3-iB.1+3iC.3+iD.1-3i【解析】选A.由题可知,根据定义运算方法,=zi+z,于是有zi+z=4+2i,所以z===3-i.【补偿训练】定义运算=ad-bc,则符合条件=1+i的复数z=________.【解析】根据题中条件可有,2zi+z=1+i,z=,分子分母同时乘以(2i-1)得,z=.所以化简为z=-i.答案:-i6.已知f(x)=则f(f(1-i))等于()A.2-iB.1C.3D.3+i【解析】选C.因为f(1-i)=(1+i)(1-i)=2,所以f(f(1-i))=f(2)=1+2=3.二、填空题(每小题5分,共20分)7.(2017·南宁高二检测)复数z=-i3的共轭复数为________.2【解析】z=-i3=+i,则z=-i3的共轭复数为=-i.答案:-i8.若z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为________.【解析】====.因为为纯虚数,所以3a-8=0且6+4a≠0,所以a=.答案:【误区警示】复数的代数形式z=x+yi,要注意x,y均为实数这一隐含条件.9.(2017·三亚高二检测)设a是实数,若复数+(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x+y=0上,则a的值为________.【解析】由复数+可化为-i.复数对应的点在直线x+y=0上,所以可得,-a-=0,所以a=0.答案:03【补偿训练】复数ω=-+i,则在复平面内,复数ω2对应的点在第________象限.【解析】由于复数ω=-+i,所以ω2==--i,在复平面内对应的点为,在第三象限.答案:三10.已知复数z满足=i(i为虚数单位),若z=a+bi(a,b∈R),则a+b=________.【解析】由题意可得z=i(1-2i)2=i(1-4-4i)=i(-3-4i)=4-3i,由复数相等可得a=4且b=-3,所以a+b=4-3=1.答案:1【补偿训练】若(1+i)(2+i)=a+bi,其中a,b∈R,i为虚数单位,则a+b=________.【解析】因为(1+i)(2+i)=a+bi,即1+3i=a+bi,所以a=1,b=3,所以a+b=4.答案:4三、解答题(共4小题,共50分)11.(12分)已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,求|z1+z2|的值.【解析】z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,所以解得y=0,x=1,所以z1=3-2i,z2=-2+i,则z1+z2=1-i,所以|z1+z2|=.12.(12分)已知2z+|z|=2+6i,求z.【解题指南】设z=x+yi(x,y∈R),由复数相等建立方程.4【解析】设z=x+yi(x,y∈R),代入已知方程得2(x+yi)+=2+6i,即(2x+)+2yi=2+6i,由复数相等定义得解得x=(舍),或x=,y=3,所以z=+3i.13.(13分)已知复数z1=i(1-i)3,(1)求|z1|.(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.【解析】(1)z1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i),所以|z1|==2.(2)|z|=1,所以设z=cosθ+isinθ,|z-z1|=|cosθ+isinθ-2+2i|==.当sin=1时,|z-z1|取得最大值,从而得到|z-z1|的最大值为2+1.【一题多解】本题还可用下面的方法求解:|z|=1可看成半径为1,圆心为(0,0)的圆,而z1对应坐标系中的点(2,-2).所以|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上的点的最大距离,由图可知:|z-z1|max=2+1.514.(13分)设z1,z2∈C,|z1|=1,|z2|=2,求|z1+2z2|的最大值.【解析】设z1,z2,z1+2z2对应的向量分别为,,,...
