第26练应用题[明晰考情]1.命题角度：应用题是江苏高考必考题，常见模型有函数、不等式、三角函数等.2.题目难度：中档难度.考点一建立函数模型方法技巧现实生活中存在的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.1.某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x＞0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)＝；若x大于或等于180，则销售量为零；当20≤x≤180时，q(x)＝a－b(a，b为实常数).(1)求函数q(x)的表达式；(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值.解(1)当20≤x≤180时，由得故q(x)＝(2)设总利润f(x)＝x·q(x)，由(1)得f(x)＝当0＜x≤20时，f(x)＝＝126000－，f(x)在(0,20]上单调递增，所以当x＝20时，f(x)有最大值120000.当20＜x＜180时，f(x)＝9000x－300·x·，f′(x)＝9000－450·，令f′(x)＝0，得x＝80.当20＜x＜80时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当80＜x<180时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以当x＝80时，f(x)有最大值240000.当x≥180时，f(x)＝0.1答当x为80时，总利润取得最大值240000元.2.如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA＞OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)；在△AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k.设OA＝x，OB＝y.(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(2)求N－M的最大值及相应的x的值.解(1)在△AOB中，∠AOB＝120°，OA＝x，OB＝y，AB＝y＋1.由余弦定理，得(y＋1)2＝x2＋y2＋xy，即y＝.由x＞y＞0，得x＞＞0，解得1＜x＜.所以y＝，x∈.(2)由(1)得M＝ky＝k·，N＝4kS△AOC＝3kx，所以N－M＝k，x∈.记f(x)＝3x－＝4x＋2＋，x∈.则f′(x)＝4－，令f′(x)＝0，得x＝2－.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下：x2－f′(x)＋0－f(x)单调递增10－4单调递减由上表可知，f(x)max＝f＝10－4.答当x＝2－时，N－M取最大值k(10－4).3.如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米.现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/时.(1)若甲、乙两管理员到达D地的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；2(2)已知对讲机有效通话的最大距离是5千米，若乙先到达D地，且乙从A地到D地的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围.解(1)由题意，可得AD＝12千米.由题意可知≤，解得≤v≤.(2)方法一设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t).由于乙先到达D地，故＜2，即v＞8.①当0＜vt≤5，即0＜t≤时，f(t)＝(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB＝t2.因为v2－v＋36＞0，所以当t＝时，f(t)取最大值，所以×2≤25，解得v≥.②当5
