课时作业4基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4解析：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.答案：D2．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(3，f(3))处的切线的倾斜角为()A.B．0C．钝角D．锐角解析：f′(x)＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)＝exsin，f′(3)＝e3sin<0，则此函数图象在点(3，f(3))处的切线的倾斜角为钝角．答案：C3．函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0＝()A．aB．±aC．－aD．a2解析：y′＝′＝＝，由x－a2＝0，得x0＝±a.答案：B4．曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为()A．x－y－2＝0B．x＋y－2＝0C．x＋4y－5＝0D．x－4y－5＝0解析：y′＝＝－，当x＝1时，y′＝－1，所以切线方程是y－1＝－(x－1)，整理得x＋y－2＝0，故选B.答案：B5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3lnx，则f′(1)＝()A．－3B．2eC.D.解析：因为f′(1)为常数，所以f′(x)＝2exf′(1)＋，所以f′(1)＝2ef′(1)＋3，所以f′(1)＝.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．若f(x)＝log3(2x－1)，则f′(2)＝________.解析：∵f′(x)＝[log3(2x－1)]′＝(2x－1)′＝，∴f′(2)＝.答案：7．已知函数f(x)＝ax4＋bx2＋c，若f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.解析：法一：由f(x)＝ax4＋bx2＋c，得f′(x)＝4ax3＋2bx.因为f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即2a＋b＝1.则f′(－1)＝－4a－2b＝－2(2a＋b)＝－2.法二：因为f(x)是偶函数，所以f′(x)是奇函数，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.答案：－28．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝________.解析：y′＝4x3＋2ax，因为曲线在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，所以y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6.答案：－6三、解答题(每小题10分，共20分)9．求下列函数的导数：(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；1(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(3)y＝；(4)y＝－sin.解析：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′＝5x4－9x2－10x.(2)方法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9.方法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.(3)方法一：y′＝′＝＝＝.方法二：∵y＝＝＝1－，∴y′＝′＝′＝－＝.(4)∵y＝－sin＝－sin＝sinx，∴y′＝′＝(sinx)′＝cosx.10．已知曲线y＝e2x·cos3x在点(0,1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．解析：∵y′＝(e2x)′·cos3x＋e2x·(cos3x)′＝2e2x·cos3x－3e2x·sin3x，∴y′|x＝0＝2，∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，根据题意，得＝，解得b＝6或－4.∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.|能力提升|(20分钟，40分)11．已知函数f(x)＝sinx－cosx，且f′(x)＝2f(x),则tanx＝()A．－3B．3C．1D．－1解析：由f(x)＝sinx－cosx，可得f′(x)＝cosx＋sinx.又f′(x)＝2f(x)，∴cosx＋sinx＝2(sinx－cosx)，整理得3cosx＝sinx，∴tanx＝＝3.故选B.答案：B12．已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.解析：由y＝x＋lnx，得y′＝1＋，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y得ax2＋ax＋2＝0，得a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.13．求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝e2x＋1；(3)y＝ln(3x－1)；(4)y＝sin.解析：(1)设y＝，u＝3x－x2，则y′x＝y′u·u′x＝·(3－2x)＝.(2)设y＝eu，u＝2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝eu·2＝2e2x＋1.(3)设y＝lnu，u＝3x－1，则y′x＝y′u·u′x＝(lnu)′·(3x－1)′＝·3＝.(4)设y＝sinu，u＝2x＋，则y′x＝y′u·u′x＝(sinu)′·′＝cosu·2＝2cos.14．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．解析：∵曲线y＝ax2＋bx＋c过点P(1,1)，∴a＋b＋c＝1.①2∵y′＝2ax＋b，∴4a＋b＝1.②又∵曲线过点Q(2，－1)，∴4a＋2b＋c＝－1.③联立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9.3
