第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.2．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．3．距离P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|d＝点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.()(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.()(5)若点P，Q分别是两条平行线l1，l2上的任意一点，则P，Q两点的最小距离就是两条平行线的距离．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A.B．2－C.－1D.＋1C[由题意得＝1，即|a＋1|＝，又a>0，∴a＝－1.]3．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．(2，－2)[直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，由解得x＝2，y＝－2，1所以直线l恒过定点(2，－2)．]4．已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．2[由＝－2，得a＝2.]5．(2017·唐山调研)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为________．[由l1∥l2，得a(a－2)＝1×3，∴a＝3或a＝－1.但a＝3时，l1与l2重合，舍去，∴a＝－1，则l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0.故l1与l2间的距离d＝＝.]两条直线的平行与垂直(1)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线xsinA＋ay＋c＝0与直线bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是()A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直(1)A(2)B[(1)当a＝1时，显然l1∥l2，若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，所以a＝1或a＝－2.所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．(2)在△ABC中，由正弦定理＝，得·＝1.又xsinA＋ay＋c＝0的斜率k1＝－，bx－ysinB＋sinC＝0的斜率k2＝，因此k1·k2＝·＝－1，两条直线垂直．][规律方法]1.判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A2B2C2≠0时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便．[变式训练1]已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为()A．－10B．－2C．0D．8A[ l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8.又 l2⊥l3，∴×(－2)＝－1，2解得n＝－2，∴m＋n＝－10.]两直线的交点与距离问题(1)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________.【导学号：51062263】(2)过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程．(1)x＋3y－5＝0或x＝－1[法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l...
