学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为()A.aB．aC.aD．a【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)． 点M在AC1上且AM＝MC1.∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，∴x＝a，y＝，z＝.于是M.∴|MN|＝＝a.【答案】A2．已知平面α的法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(x,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为，则x＝()【导学号：32550053】A．－1B．－11C．－1或－11D．－21【解析】PA＝(x＋2,2，－4)，而d＝＝，即＝，解得x＝－1或－11.【答案】C3．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是1，则直线DA1与AC间的距离为()A.B．C.D．【解析】建系如图A(1,0,0)，A1(1，0,1)，C(0,1,0)，AC＝(－1,1,0)，DA1＝(1,0,1)，设n＝(x，y，z)，令，∴令x＝1则n＝(1,1，－1)DA＝(1,0,0)，DA1与AC的距离d＝＝.1【答案】C4．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于()A．5B．C．4D．2【解析】设AD＝λAC，D(x，y，z)．则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0,4，－3)．∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ，∴BD＝(－4,4λ＋5，－3λ)．∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－，∴BD＝，∴|BD|＝＝5.【答案】A5．在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为()A.B．C.D．【解析】如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2，0,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)．∴D1B1＝(2,2,0)，D1A＝(2,0，－4)，AA1＝(0,0,4)，设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的一个法向量，则n⊥D1B1，n⊥D1A，∴即令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．∴由AA1在n上射影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.【答案】C二、填空题6．如图265所示，在直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为________．图265【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2).AD＝(0,0,2)，AE＝(1,1,0)，AC＝(0,2,2)，2设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，则即令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．故点D到平面ACE的距离d＝＝＝.【答案】7．设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________．【导学号：32550054】【解析】设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)， n·AB＝0，n·AC＝0，∴即⇒令z＝－2，则n＝(3,2，－2)．又AD＝(－7，－7,7)，∴点D到平面ABC的距离为d＝＝＝＝.【答案】8．如图267所示，正方体的棱长为1，E，F，M，N分别是棱的中点，则平面A1EF与平面B1NMD1的距离为________．图267【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，B1(1,1,0)，E，F，D1(0,0,0)，M，N. E，F，M，N分别是棱的中点，∴MN∥EF，A1E∥B1N.∴平面A1EF∥平面B1NMD1.∴平面A1EF与平面B1NMD1的距离即为A1到平面B1NMD1的距离．设平面B1NMD1的法向量为n＝(x，y，z)，∴n·D1B1＝0，且n·B1N＝0.即(x，y，z)·(1,1,0)＝0，且(x，y，z)·＝0.3∴x＋y＝0，且－x＋z＝0，令x＝2，则y＝－2，z＝1.∴n＝(2，－2,1)，n0＝.∴A1到平面B1NMD1的距离为d＝|A1B1·n0|＝＝.【答案】三、解答题9．如图268，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.图268(1)求证：直线CD1∥平面A1BC1；(2)求直线CD1与平面A1BC1间的距离．【证明】(1)建系如图，则C(0,4,0)，D1(0,0,2)，B(3,4,0)，A1(3,0,2)，C1(0,4,2)，所以CD1＝(0，－4,2)，BA1＝(0，－4,2)，BC1＝(－3,0,2)，BC＝(－3,0,0)． CD1＝BA1，∴CD1∥BA1，又因为CD1平面A1BC1，BA1平面A1BC1，所以CD1∥平面A1BC1.(2)设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则即∴取z＝6，则x＝4，y＝3，∴n＝(4,3,6)，则BC·n＝(－3，0,0)·(4,3,6)＝－12，|n|＝.所以点C到平面A1BC1的距离即直线CD1到平面A1BC1的距离，即d＝＝＝.10．如图269，已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求点A到平面SND的距离．图269【解】建立如...
