2.1实际问题中导数的意义[A组基础巩固]1．空间中的某质点M按规律s＝2t2＋3运动，则质点在t＝2时的瞬时速度为()A．4B．8C．11D．16解析：s′＝4t，则质点在t＝2时的速度为：4×2＝8.答案：B2．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是()A．0B．3C．－2D．3－2t解析：v(t)＝s′(t)＝3－2t，初速度即为v(0)＝3.答案：B3．若一物体的运动方程为s＝则此物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度之和为()A．6B．4C．2D．10解析：由题意得s′(1)＝6，s′(3)＝0，∴t＝1时的瞬时速度为6，t＝3时的瞬时速度为0，∴t＝1和t＝3时的瞬时速度之和为6.答案：A4．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr2，那么在r＝3时面积的变化率是()A．6B．9C．9πD．6π解析： S′＝2πr，∴S′(3)＝2π×3＝6π.答案：D5．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为()A．汽车刹车后1s内的位移B．汽车刹车后1s内的平均速度C．汽车刹车后1s时的瞬时速度D．汽车刹车后1s时的位移解析：由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．答案：C6．正方形的周长y关于边长x的函数是y＝4x，则y′＝________，其实际意义是__________．答案：4边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度．7．一个电路中，流过的电荷量Q(单位：C)关于时间t(单位：s)的函数为f(t)＝5t2－2t，则求当t由2变到3时，电荷量Q关于t的平均变化率为________．解析：＝＝＝23(C/s)．答案：23C/s8．已知子弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，子弹从枪口中射出时所用的时间为1.6×10－3s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为________．解析：s＝at2，v＝s′＝at.由t＝1.6×10－3s，1可得v＝5×105×1.6×10－3m/s＝800m/s.故子弹射出枪口的瞬时速度为800m/s.答案：800m/s9．已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比，如果车轮启动后转动第一圈需要0.8s，求转动开始后第3.2s时的瞬时角速度．解析：设时间为t时，车轮旋转的角度为f(t)，f(t)＝kt2，由题意知：2π＝k·0.82，则k＝.所以f(t)＝πt2，则f′(t)＝πt，f′(3.2)＝20πrad/s，即转动开始后第3.2s时的瞬时角速度为20πrad/s.10．当销售量为x，总利润为L＝L(x)时，称L′(x)为销售量为x时的边际利润，它近似等于销售量为x时，再多销售一个单位产品所增加或减少的利润．某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收入函数分别是C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2.求边际利润函数和当日产量分别是200kg,250kg和300kg时的边际利润．解析：(1)总利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，边际利润函数为L′(x)＝5－0.02x.(2)当日产量分别是200kg、250kg和300kg时的边际利润分别是L′(200)＝1(元)，L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)．[B组能力提升]1．水以20m3/min的速度流入一圆锥形容器，设容器深30m，上底直径12m，当水深10m时，水面上升的速度为(单位：m/min)()A.B.C.D.答案：B2．如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，则它的图像大致是()解析：由于l匀速旋转，S开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增速快，故只有D项正确．答案：D3．一个质量为m＝3kg的物体做直线运动，设运动距离s(单位：cm)与时间t(单位：s)的关系可以用函数s(t)＝1＋t2表示，并且物体的动能U＝mv2，则物体开始运动后第5s时的动能为________．2解析： s′(t)＝2t，∴s′(5)＝10，即5s时的瞬时速度为10cm/s，即0.1m/s.此时，U＝×3×0.12＝0.015J.答案：0.015J4．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s＝t2(s的单位为m，t的单位为s)，则小球在t＝5时的瞬时速度为________m/s.解析：v＝s′＝2t，在t＝5时小球的瞬时速度为2×5＝10m/s.答案：105．一企业的每日成本C(千元)是日产量q(台)的函数C(q)＝400＋2q＋5.求：(1)日产量为400台时的成本；(2)日产量为400台时的平均成本；(3)日产量由400台增加到484台时的平均成本；(4)日产量为400台时的边际成本．解...
