第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行课后篇巩固提升基础达标练1.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则()A.x=6,y=15B.x=3,y=152C.x=3,y=15D.x=6,y=152解析由题意,有a∥b,则32=x4=y5,得x=6,y=152.答案D2.(多选题)若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则不可能使l∥α的是()A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)解析若l∥α,则需m⊥n,即m·n=0,根据选择项验证可知:A中,m·n=-2;B中,m·n=6;C中,m·n=-1;D中,m·n=0,故选A,B,C.答案ABC3.设a=(3,-2,-1)是直线l的方向向量,n=(1,2,-1)是平面α的法向量,则()A.l⊥αB.l∥αC.l∥α或l⊂αD.l⊥α或l⊂α解析 a·n=0,∴a⊥n,可知l∥α或l⊂α.答案C4.已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是.解析 直线l∥平面ABC,∴存在实数x,y,使a=x⃗AB+y⃗AC,⃗AB=(1,0,-1),⃗AC=(0,1,-1),∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),∴{2=x,m=y,1=-x-y,∴m=-3.答案-35.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n.解如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).设平面ACD1的法向量n=(x,y,z). ⃗AC=(-1,1,0),⃗AD1=(-1,0,1),又 n为平面ACD1的一个法向量,∴{n·⃗AC=0,n·⃗AD1=0,∴{(x,y,z)·(-1,1,0)=0,(x,y,z)·(-1,0,1)=0,化简,得{x=y,x=z.令x=1,得y=z=1.∴平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1).6.在三棱锥O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点D,使BD∥AC,DC∥AB.解建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).由BD∥AC,DC∥AB⇒⃗BD∥⃗AC,⃗DC∥⃗AB,因此{(x,y-1,z)=k1(-1,0,2),(-x,-y,2-z)=k2(-1,1,0),⇒{x=-1,y=1,z=2.即点D的坐标为(-1,1,2).7.已知三棱锥P-ABC,D,E,F分别为棱PA,PB,PC的中点,求证:平面DEF∥平面ABC.证明如图,设⃗PD=a,⃗PE=b,⃗PF=c,则⃗PA=2a,⃗PB=2b,⃗PC=2c,所以⃗DE=b-a,⃗DF=c-a,⃗AB=2b-2a,⃗AC=2c-2a,对于平面ABC内任一直线l,设其方向向量为e,由平面向量基本定理知,存在唯一实数对(x,y),使e=x⃗AB+y⃗AC=x(2b-2a)+y(2c-2a)=2x(b-a)+2y(c-a)=2x⃗DE+2y⃗DF,因此e与⃗DE,⃗DF共面,即e∥平面DEF,又l⊄平面DEF,所以l∥平面DEF.由l的任意性知,平面ABC∥平面DEF.能力提升练1.设α,β是不重合的两个平面,α,β的法向量分别为n1,n2,l和m是不重合的两条直线,l,m的方向向量分别为e1,e2,那么α∥β的一个充分条件是()A.l⊂α,m⊂β,且e1⊥n1,e2⊥n2B.l⊂α,m⊂β,且e1∥e2C.e1∥n1,e2∥n2,且e1∥e2D.e1⊥n1,e2⊥n2,且e1∥e2解析对于C,有n1∥n2,则α∥β.故选C.答案C2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=√2a3,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.相交B.平行C.垂直D.不能确定解析建立如图所示的空间直角坐标系,由图可知平面BB1C1C的法向量n=(0,1,0). A1M=AN=√2a3,∴M(a,2a3,a3),N(2a3,2a3,a),∴⃗MN=(-a3,0,2a3). ⃗MN·n=0,∴MN∥平面BB1C1C.答案B3.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=(-1,y,12),已知α∥β,则x+y=.解析因为α∥β,所以u∥v.则x-1=1y=-212,即{x=4,y=-14,故x+y=154.答案1544.若A0,2,198,B1,-1,58,C-2,1,58是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=.解析因为⃗AB=1,-3,-74,⃗AC=-2,-1,-74,又因为a·⃗AB=0,a·⃗AC=0,所以{x-3y-74z=0,-2x-y-74z=0,解得{x=23y,z=-43y.所以x∶y∶z=23y∶y∶-43y=2∶3∶(-4).答案2∶3∶(-4)5.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,2),B(4,2,0),C(2,4,0),求平面ABC的单位法向量.解⃗AB=(4,2,-2),⃗AC=(2,4,-2),设n=(x,y,z)是平面ABC的单位法向量,则有{|n|2=1,n·⃗AB=0,n·⃗AC=0⇒{x2+y2+z2=1,2x+y-z=0,x+2y-z=0.取z>0,得x=y=1√11,z=3√11.故平面ABC的单位法向量为n=(√1111,√1111,3√1111).6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点,点P在棱AA1上,且DP∥平面B1AE,则AP的长为.解析如图,...
