第3讲圆锥曲线中的定值、定点及证明问题1．(2019·贵阳市第一学期监测)已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切，设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且OA·OB＝－16，求证：直线AB恒过定点．解：(1)由题意动圆P与直线l：y＝－1相切，且与定圆M：x2＋(y－2)2＝1外切，所以动点P到圆M的圆心M(0，2)的距离与到直线y＝－2的距离相等，由抛物线的定义知，点P的轨迹是以M(0，2)为焦点，直线y＝－2为准线的抛物线．故所求P的轨迹E的方程为x2＝8y.(2)证明：设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入x2＝8y中得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b，又OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b2＝－16，所以b＝4，所以直线AB恒过定点(0，4)．2．(2019·江西七校第一次联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点M，其离心率为，设直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l与圆x2＋y2＝相切，求证：OA⊥OB(O为坐标原点)．解：(1)因为e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a2＝2b2，所以椭圆C的方程为＋＝1.因为在椭圆上，所以＋＝1，b2＝1，a2＝2，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：因为直线l与圆x2＋y2＝相切，所以＝，即3m2－2k2－2＝0，由，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝0，所以OA⊥OB.3．(2019·长沙市统一模拟考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N为定值．解：(1)由AF2⊥F1F2，|AF2|＝，得＝.又e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8，故椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)证明：由题意可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3.直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(－3，－3k＋m)，N(3，3k＋m)，所以F1M＝(－2，－3k＋m)，F1N＝(4，3k＋m)，所以F1M·F1N＝－8＋m2－9k2.联立，得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，化简得m2＝9k2＋8.所以F1M·F1N＝－8＋m2－9k2＝0，所以F1M⊥F1N，故∠MF1N为定值.4．(2019·高考北京卷)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．解：(1)由题意，得b2＝1，c＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为y＝x＋1.令y＝0，得点M的横坐标xM＝－.又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝.同理，|ON|＝.由得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|OM|·|ON|＝·＝＝＝2.又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.解得t＝0，所以直线l经过定点(0，0)．
