2.2空间向量的运算[A.基础达标]1．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，则OC等于()A．2OA－OBB．－OA＋2OBC.OA－OBD．－OA＋OB解析：选A.因为2AC＋CB＝0，所以CB＝－2AC＝2CA，所以OC＋OB＝2OA，故OC＝2OA－OB.2．设空间四点O，A，B，P满足OP＝mOA＋nOB，其中m＋n＝1，则()A．点P一定在直线AB上B．点P一定不在直线AB上C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D.AB与AP的方向一定相同解析：选A.因为n＝1－m，所以OP＝mOA＋(1－m)OB＝mOA＋OB－mOB，即OP－OB＝m(OA－OB)，所以BP＝mBA，故选A.3．对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是()A.OP＝OA＋OB＋OCB.OP＝OA＋OB＋OCC.OP＝－OA＋OB＋OCD．以上都不对解析：选B.若P，A，B，C四点共面，满足向量关系式OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)．因为＋＋＝1，故选B.4．已知四边形ABCD满足：AB·BC＞0，BC·CD＞0，CD·DA＞0，DA·AB＞0，则该四边形为()A．平行四边形B．梯形C．平面四边形D．空间四边形解析：选D.因为AB·BC＞0，所以〈AB，BC〉为锐角，所以∠B为钝角，同理可得∠C，∠D，∠A均为钝角，则有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＞360°.所以该四边形为空间四边形．5.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45°B．60°C．90°D．120°解析：选B.令BA＝a，BC＝b，BB1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝m(m＞0)，a·b＝b·c＝c·a＝0，EF＝(c－a)，BC1＝b＋c，又|EF|＝m，|BC1|＝m，所以cos〈EF，BC1〉＝＝＝，所以直线EF和BC1所成的角为60°.6．化简(AB－CD)－(AC－BD)＝________．解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算)(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝AB＋DC＋CA＋BD＝AB＋BD＋DC＋CA＝0.法二：(利用向量的减法运算法则求解)(AB－CD)－(AC－BD)＝(AB－AC)＋BD－CD＝CB＋BD－CD＝CD－CD＝0.答案：07．设e1，e2是空间两个不共线的向量，若AB＝e1＋ke2，BC＝5e1＋4e2，DC＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________．解析：BD＝BC＋CD＝BC－DC＝6(e1＋e2)，因为A、B、D三点共线，可令AB＝λBD，即e1＋ke2＝6λ(e1＋e2)，又e1，e2不共线，故有，所以k＝1.答案：18．如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，E为棱C1D1的中点，则AB·AE＝________．解析：AE＝AA1＋AD＋AB，AB·AE＝AB·AA1＋AB·AD＋AB2＝4×3×cos60°＋0＋×42＝14.答案：149.如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.求证：CC1⊥BD.证明：设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，1则|a|＝|b|.因为BD＝CD－CB＝b－a，所以BD·CC1＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝|b||c|cos60°－|a||c|cos60°＝0，所以CC1⊥BD，即CC1⊥BD.10.如图所示，四边形ABCD、ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断CE与MN是否共线．解：因为M、N分别是AC、BF的中点，且四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，所以MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB.又因为MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－CA＋CE－AF－FB，所以CA＋AF＋FB＝－CA＋CE－AF－FB.所以CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)．所以CE＝2MN.所以CE∥MN，即CE与MN共线．[B.能力提升]1．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则()A．m∥nB．m⊥nC．m，n既不平行也不垂直D．以上三种情况都可能解析：选B.因为m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，所以m⊥n.2．下列命题：①若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；③若a，b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点P与不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．其中不正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C.对于①：AB＋BC＋CD＋DA＝AC＋CD＋DA＝AD＋DA＝0，故①正确；对于②：当|a|<|b|时，|a＋b|>0，而|a|－|b|<0，故②不正确；对于③：a和b共线，a和b所在直线平行或重合，故③不正确；对于④：若OP＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)，则P，A，B，C...
