高中数学 第三章 空间向量与立体几何能力检测 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

第三章空间向量与立体几何能力检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)1．设{a，b，c}是空间一个基底，则一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成空间的另一个基底的向量是()A．aB．bC．cD．a或b【答案】C【解析】向量p，q均与a，b共面，所以只能与c组成基底．2．已知空间直角坐标系中点A(1,0,0)，B(2,0,1)，C(0,1,2)，则平面ABC的一个法向量为()A．(－1，－3,2)B．(1,3，－1)C．(1,3,1)D．(－1,3,1)【答案】B【解析】AB＝(1,0,1)，AC＝(－1,1,2)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB＝x＋z＝0，n·AC＝－x＋y＋2z＝0，n＝(1,3，－1)为平面ABC的法向量．故选B．3．设A，B，C，D是空间不共面的四点且满足AB·AC＝0，AB·AD＝0，AC·AD＝0，则△BCD是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定【答案】C【解析】由AB·AC＝0，AB·AD＝0，AC·AD＝0，可知AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，即三棱锥ABCD的三侧棱两两垂直，则其底面为锐角三角形．4．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为()A．0°B．45°C．90°D．180°【答案】C【解析】cos〈a，b〉＝＝＝0，∴a与b的夹角为90°.5．(2019年陕西西安期末)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于t，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF等于()A．t2B．t2C．t2D．t2【答案】D【解析】设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝t，且a，b，c三向量两两夹角为60°.又AE＝(a＋b)，AF＝c，故AE·AF＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(t2cos60°＋t2cos60°)＝t2.6．设a＝(m，－1,2)，b＝(3，－4，n)，若a∥b，则m，n的值分别为()1A．，8B．－，－8C．－，8D．，－8【答案】A【解析】 a∥b，∴存在实数λ使得a＝λb.∴解得m＝，n＝8.故选A．7．空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上且OM＝2MA，N为BC中点，则MN等于()A．a－b＋cB．－a＋b＋cC．a＋b－cD．a＋b－c【答案】B【解析】如图，MN＝MO＋OC＋CN＝AO＋OC＋CB＝－a＋c＋(b－c)＝－a＋b＋c.8．(2019年黑龙江哈尔滨模拟)已知空间向量a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为()A．B．C．4D．8【答案】B【解析】|a|＝3，|b|＝3，而a·b＝4＝|a||b|·cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝，故sin〈a，b〉＝＝，于是以a，b为邻边的平行四边形的面积为S＝|a||b|sin〈a，b〉＝3×3×＝.故选B．9．已知e1，e2，e3是空间中不共面的三个向量，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3且d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为()A．，－，－1B．，，1C．－，，1D．－，－，－1【答案】A【解析】d＝xa＋yb＋zc＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x－y)e3＝e1＋2e2＋3e2，由空间向量基本定理，空间任一向量都可以用一个空间基底唯一表示，从而得到解得x＝，y＝－，z＝－1.故选A．10．(2019年河北石家庄模拟)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝2，CC1＝，则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为()A．1B．C．D．【答案】A【解析】取线段A1B1，AB的中点分别为O，D，则OC1⊥平面ABB1A1，∴可以以OB1，OC1，OD的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz，如图，则A(－1,0，)，B1(1,0,0)，B(1,0，)，C1(0，，0)，∴AB1＝(2,0，－)，BC1＝(－1，，－)． AB1·BC1＝(2,0，－)·(－1，，－)＝0，∴AB1⊥BC1，即异面直线AB1和BC1所成的角为直角，则其正弦值为1.故选A．211．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点且A1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为()A．B．C．D．【答案】D【解析】以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则E，F，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，可求得面D1EF的一个法向量为n＝(1,0,2)． A1G∥EF，∴点G到平面D1EF的距离等于点A1到平面D1EF的距离．又A1E＝，∴d＝＝＝.12．(2019年宁夏银川期末)已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系E－xyz，设棱长为1，则A，B1.设AB1与平...